暑期补课函数2

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1、函数2与抽象函数有关的函数零点问题例1　设函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，则方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数为________．1．设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________.3．若f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为________．4．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y

2、)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2014)＝________.5．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的定义域及值域均为[－a，a](常数a>0)，其图象如图所示，则方程f(g(x))＝0根的个数为________．6．如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x))＝0，f(g(x))＝0的实根个数分别为m，n，则m＋n＝________.7．若对于定义在R上的函数f(x)，存在常数t(t∈R)，使得f(x＋t)＋tf(x)＝0对任意实数x均成立，则称f(x)是t阶回旋函数，则下列命题正确

3、的是________．(填序号)①f(x)＝2x是－阶回旋函数；②f(x)＝sin(πx)是1阶回旋函数；③f(x)＝x2是1阶回旋函数；④f(x)＝logax是0阶回旋函数．8．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的判断：①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③y＝f(x)在[0,1]上是增函数；④f()＝0.其中正确判断的序号是________．9．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2

4、，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)10．(2013·湖南)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)

5、a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a

6、，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是____________．(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(

7、x

8、)<－2.12

9、．设集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)．