《3.2.2 最大值、最小值问题二》同步练习

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1、《3.2.2最大值、最小值问题(二)》同步练习1．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小，则分法为(　　)．A．2与6　　　　　　　　B．4与4C．3与5D．以上均错解析　设一段长为x，则另一段为8－x，其中0

2、θ，则矩形的面积是S＝5sinθ·2·5cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.答案　C3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为(　　)．A.cmB．100cmC．20cmD.cm解析　设圆锥的高为hcm，则V＝(400－h2)h，h∈(0，20)．令V′(h)＝(400－3h2)＝0，得h＝.答案　A4．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析　设圆柱底面半径为R，高为h.则πR2·h＝27π，h＝.∴S表＝πR2＋

3、2πRh＝πR2＋2π·，∴S表′＝2πR－.令S表′＝0，得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．答案　35．内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为__________．解析　设圆锥高为h，半径为r，则r2＝h(2R－h)，V＝πr2h＝πh2(2R－h)＝－πh3＋πRh2，V′＝－πh2＋πRh，由V′＝0，得h＝R.答案　R6．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10[来源:学+科+网]层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用

4、为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N)f′(x)＝48－令f′(x)＝0得x＝15当x＞15时，f′(x)＞0；当10≤x＜15时，f′(x)＜0因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000.答　为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．7．某商品在最近3

5、0天的价格f(t)与时间t(天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0

6、关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)．A．100B．200C．250D．300解析　总成本C＝20000＋100x，则总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x＞400时，P′＜0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．答案　D9．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成长为________m，宽为________m的长方形才能使小屋面积最大．解析　设长为xm，宽为ym，则x＋2y＝20，y＝10－，S＝x·y＝x＝10x－，

7、S′＝10－x，∴x＝10，y＝5.答案　10　510．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为__________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．解析　设两底边分别为x、2x，高为y，则V＝2x2y，∴y＝＝.∴S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋.∴S′＝8x－.令S′＝0，得x＝3.∴长为6cm，宽为3cm，高为4cm.答案　6cm　3cm　4cm11.　如图所示，铁路线上AB线段长100km，工厂

8、C到铁路线上A处的垂直距离CA为20km，现在要在AB上选一点D，从D向C修一条直线公路，已知铁路运输每吨千米与公路运输每吨千米的运费之比为3∶5，为了使原料从B处运到工厂C的运费最省，D应选在何处？解　设铁路运输每吨千米运费为3k(k为比例系数)，则公路运输每吨千米运费为5k，设D点距离A处为xkm.则D点距B处为(100－x)km，设原料从B处运到C处的运费为y，则y＝·5k＋(100－x)·3