《1.3.3 最大值与最小值》同步练习1

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1、《1.3.3课时作业》同步练习一、填空题1．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________．【解析】　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2(舍去)．当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)递减；∴x＝0时，f(x)取最大值2.【答案】　22．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值是________．【解析】　由f′(x)＝－＝0，得x＝1，∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x∈(1，5]时，f′(x)＞0.故当x＝1时，f(x)有最小

2、值，且f(1)＝3.【答案】　33．函数y＝x＋2cosx在区间[0，]上的最大值是________．【解析】　∵y′＝1－2sinx，x∈[0，]，令y′＝0，得x＝.由于f(0)＝2，f()＝＋，f()＝，∴函数的最大值为＋.【答案】　＋4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a的值为________．【解析】　f′(x)＝3x2－2x－1，x∈[0，2]，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－舍去)．又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，∴f(x)在[0，2]上的最大值为a＋2＝3，∴a＝1.【答案】　15．函数f(x)

3、＝＋x(x∈[1，3])的最小值是________．【解析】　f′(x)＝－＋1＝，当x∈[1，3]时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，∴f(x)在x∈[1，3]上的最小值为f(1)＝.【答案】　6．若对任意的x＞0，恒有lnx≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是________．【解析】　原不等式化为lnx－px＋1≤0，令f(x)＝lnx－px＋1，只需f(x)max≤0.由f′(x)＝－p知f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．∴f(x)max＝f()＝－lnp，由f(x)max≤0，得p≥1.【答案】　[1，＋∞)7．设直线x＝t与函数f

4、(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________．【解析】　设h(x)＝x2－lnx，易知h′(x)＝2x－＝，x＞0，x＝是h(x)在x∈(0，＋∞)内惟一极小值点，且h()＝－ln＞0，则

5、MN

6、min＝h(x)min，∴MN达到最小时，t＝.【答案】　8．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是________．【解析】　设y＝x2＋，则y′＝2x－＝，当x≤－时，y′＜0，y＝x2＋是减函数，∴当x＝－时，y取得最小值为－.∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.【答案】　(－∞，－]二、

7、解答题9．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．【解】　函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝－＋a，(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．(2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a＞0.即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.10．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋c，x∈[－2，6]，若当x∈[－2，6]时，f(x)＜2c恒成立，求实数

8、c的取值范围．【解】　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值c＋5极小值c－27而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，∴x∈[－2，6]时f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可，因此c＞54.即实数c的取值范围为(54，＋∞)．11．设函数f(x)＝x2ex.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)

9、＜m恒成立，求实数m的取值范围．【解】　(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝exx(x＋2)，令exx(x＋2)＞0，得x＞0或x＜－2，∴f(x)的增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)，令exx(x＋2)＜0，得－2＜x＜0，∴f(x)的减区间为(－2，0)．(2)因为x∈[－2，2]，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0，又由(1)知，x＝－2，x＝0分别为f(x)的极大值点和极小值点．∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，∴f(x)max＝2e2.∵x∈[－2，2]时，f(x)＜m恒成立．∴m＞2e2，即m的取值范围为(2e2，＋∞)．