《4.4.1 参数方程的意义》习题

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1、1．如图4－4－2，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MA＝a，MB＝b(2r＜a＋b)．当点A在Ox上做往返运动，点B绕着O做圆周运动时，求点M的轨迹方程．图4－4－2【解】　如题图，设点M(x，y)，θ＝∠BAO，由点B作BC⊥Ox，交Ox于点C，由点M作MD⊥Ox，交Ox于点D，由点M作ME⊥BC，交BC于点E，那么y＝DM＝asinθ，x＝OD＝OC＋CD＝OC＋EM＝±＋EM＝±＋bcosθ，得到点M(x，y)的坐标满足方程组即为点M的轨迹方程．2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别

2、为9m/s和12m/s，运动开始时，点M位于A(1，1)，求点M的轨迹方程．【解】　设ts后点M的坐标为(x，y)，则所以点M的轨迹方程为(t≥0)．3．以椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数，将椭圆方程化为参数方程．【解】　椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A的坐标为(－2，0)．设P(x，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P的坐标满足将＝k代入＋y2＝1，消去x，得(＋4)y2－y＝0.解得y＝0，或y＝.由y＝，解得x＝；由y＝0，解得x＝2.由于(2，0)满足方程组所以椭圆＋y2＝1的参数方程为4．△ABC是圆x2

3、＋y2＝1的内接三角形，已知A(1，0)，∠BAC＝60°，求△ABC的重心的轨迹方程．【解】　因为∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°.设B(cosθ，sinθ)(0°＜θ＜240°)，则有C(cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x，y)，则所以即消去θ＋60°，得(3x－1)2＋9y2＝1，∵0°＜θ＜240°，∴－1≤cos(θ＋60°)＜，∴0≤＜，即0≤x＜.∴△ABC的重心的轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x<)．图4－4－35．如图4－4－3，过抛物线y2＝4x上任一点M作MQ垂直于准线l，垂足为Q

4、，连接OM和QF(F为焦点)相交于点P，当M在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程．【解】　设直线OM的方程为y＝kx(k≠0)，由得或所以M(，)，则Q(－1，)，于是直线QF的方程为y＝(x－1)，即y＝－(x－1)．由消去k，得2x2＋y2－2x＝0.所以点P的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(y≠0)．图4－4－46．如图4－4－4所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．【解】　设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，

5、得x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝2acos2θ，y＝AB＝OAtanθ＝2atanθ.所以P点轨迹的参数方程为θ∈(－，)．7．已知点P(x，y)是曲线C：上的任意一点，求3x＋y的取值范围．【解】　设P(3＋cosθ，2＋sinθ)，则3x＋y＝3(3＋cosθ)＋(2＋sinθ)＝11＋3cosθ＋sinθ＝11＋2sin(θ＋)，∴3x＋y的最大值为11＋2，最小值为11－2，取值范围是[11－2，11＋2]．教师备选8．如图，已知曲线4x2＋9y2＝36(x＞0，y＞0)，点A在曲线上移动，点C(6，4)，以AC为对角线作矩形A

6、BCD，使AB∥x轴，AD∥y轴，求矩形ABCD的面积最小时点A的坐标．【解】　∵椭圆方程为＋＝1(x＞0，y＞0)，设A(3cosθ，2sinθ)，θ∈(0，)，则B(6，2sinθ)，C(6，4)，D(3cosθ，4)，所以SABCD＝AB·AD＝(6－3cosθ)(4－2sinθ)＝24－12(sinθ＋cosθ)＋6sinθcosθ.令t＝sinθ＋cosθ，则t∈(1，]，sinθcosθ＝，则SABCD＝3(t－2)2＋9.因为t∈(1，]，所以当t＝时，矩形面积最小，即t＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)＝，此时，θ＝.所以矩形A

7、BCD的面积最小时点A坐标是(，)．