[名校联盟]江西省上饶县中学高一数学《函数与方程》教案

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1、第四章：函数应用§1：函数与方程教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：同学们好，今天我们来进行

2、第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0)这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－.②ax+bx+c=0(a0)这是一个一元二次方程，在对一元二次方程求解时我们会先用判别式△=b－4ac来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x≠x;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x=x;当△＜0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=。③x

3、+4x+3x+2x+1=0我们知道这是一个一元五次方程，对于这样一个高次方程大家会不会求解？能不能知道这个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题？（写标题）1.1利用函数性质判定方程解的存在一、例1：给出三个方程：x-2x-3=0；x-2x+1=0；x-2x+3=0分析：这三个都是简单的一元二次方程，我们可以通过判别式△来判断方程是否有解，若有解，也能很容易的求出。解：①△＞0x=3，x=-1；对应函数：f(x)=x-2x-3②△=0x=x=1；对应函数：f(x)=x-2x+1③△＜0无实解；对应函数：f(x)=x-2x+3图像：[

4、来源:学§科§网Z§X§X§K]提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系？总结：①一元二次方程的根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。②一元二次方程根的个数与对应函数图像与x轴交点的个数相等。对于函数图像与x轴的交点，我们来学习一个新的数学名词——函数零点。二、函数零点1．概念：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。②零点是一个实数，并不是一个点。③函数的零点就是相应方程的根。④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函

5、数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。1．判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？观察例1中第一个方程的对应图像：f(x)=x-2x-3从图像上看，我们知道函数f(x)=x-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-

6、2)=5＞0,f(0)=-3＜0,f(-2)×f(0)＜0;f(2)=-3＜0,f(4)=5＞0,f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x)=x-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x)=x-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：3.零点存在性定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点

7、，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解。零点存在性定理是用来判断一个方程是否存在解的，因此，现在我们可以来判断上课开始的那个一元五次方程是否存在解了？x+4x+3x+2x+1=0[来源:学科网ZXXK]解：考虑f(x)=x+4x+3x+2x+1试探：当x=0时，f(0)=1＞0；当x=1时，f(1)=1+4+3+2+1=11＞0；当x=-1时，f(-1)=-1-4+3-2+1=-3＜0∴f(0)×f(-1)＜0则函数f(x)=x+4x+3x+2x+1在区间（-1,0）内至少有一个零点，即方程在（-1,0）内至少有一个实数解。一、举例：例2：

8、已知函数f(x)=3-x