专题2：函数与导数2

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1、2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题2：函数与导数一、选择填空题14.（江苏2008年5分）设直线是曲线的一条切线，则实数的值是　　▲　　【答案】。【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程。【分析】要求实数的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可：由求导得。令得，∴切点坐标为（2，2）。将（2，2）代入直线方程，得。15.（江苏2008年5分）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为　　▲　　【答案】4

2、。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①，②，③三种情形：若，则不论取何值，显然成立；若即时，可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；若即时，可化为，第16页共16页在区间上单调递增，因此，从而。综上所述，。16.（江苏2009年5分）函数的单调减区间为▲.学科网【答案】。【考点】利用导数判断函数的单调性。【分析】要求函数的单调减区间可先求出，并令其小于零得到关于的不等式求出解集即可：∵，∴由得单调减区间为。亦可

3、填写闭区间或半开半闭区间。17.（江苏2009年5分）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为▲.学科网【答案】（－2，15）。【考点】导数的几何意义。【分析】∵，又∵点P在第二象限内，∴。∴点P的坐标为（－2，15）。18.（江苏2009年5分）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为▲.学科网【答案】＜。【考点】指数函数的单调性。【分析】∵，∴函数在R上递减。由得：＜。19.（江苏2010年5分）设函数是偶函数，则实数=　　▲　　【答案】－1。【考点】函数奇偶

4、性的性质。【分析】∵是偶函数，∴为奇函数。∴，即。∴=－1。20.（江苏2010年5分）已知函数,则满足不等式的的范围是第16页共16页　　▲　　。【答案】。【考点】分段函数的单调性。【分析】分段讨论：当时，，，则，。∴无解。当时，，，则，。∴由得，1，解得。∴此时的范围是（－1，0）。当时，，，则，。∴由得，，解得。∴此时的范围是[0，）。当时，，，则，。∴由得1，无解。综上所述，满足不等式的的范围是。21.（江苏2010年5分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是　

5、　▲　　。【答案】。【考点】求闭区间上函数的最值。【分析】设剪成的小正三角形的边长为，则：令，则：。第16页共16页∴当时，有最大值，其倒数有最小值。∴当，即时，S的最小值是。本题还可以对函数S进行求导，令导函数等于0求出的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。22.（江苏2011年5分）函数的单调增区间是　　▲　　_【答案】。【考点】对数函数图象和性质。【分析】由，得，所以函数的单调增区间是。23.（江苏2011年5分）已知实数，函数，若，则a的值为　　▲　　【答案】。【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含

6、参数的分类讨论。【分析】根据题意对分类：当时，，，解之得，不合舍去；当时，，，解之得。14.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，则的最大值是　　▲　　【答案】。【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。【分析】设P点坐标为，第16页共16页由得，的方程为，令得，。∴过点P的的垂线方程为，令得，。∴。对函数求导，得，∴在上单调增，在单调减，当时，函数的最大值为。15.（20

7、12年江苏省5分）函数的定义域为▲．【答案】。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。16.（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为▲．【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为，当时有，即，∴。∴解得，。∵不等式的解集为，∴，解得。二、解答题第16页共16页6.（江苏2008年16分）已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2

8、）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）【答案】解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立.（*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件。（2）分两种情形讨论：（i）当