扬州中学2012-2013学年度第一学期质量检测

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扬州中学2012-2013学年度第一学期质量检测高三数学试卷2012.12一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合▲．2．“”是“”的▲条件．3．双曲线的渐近线方程为▲．4.复数在复平面内对应的点位于第▲．象限．5．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为▲．6.若圆与圆关于直线对称，则的方程为▲．7．公差不为零的等差数列的第二、三及第六项构成等比数列，则=▲．8．设为使互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：①②③④若；其中正确命题的序号为▲．9．若实数、满足且的最小值为3，则实数的值为▲．10．已知函数，，，且的最小值为，则正数的值为▲．11．设是内一点，，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是 ▲．科网12.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，以点为圆心的圆与轴相切，且同时与轴相切于椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为▲．13．若关于的方程的三个根可分别作为一个椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则的取值范围为▲．14.已知直线经过椭圆的焦点并且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则面积的最大值为▲．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．（本题满分14分）如图,在直三棱柱中，，,，点是的中点，⑴求证：；⑵求证：16．（本题满分14分）在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．（1）求角的值;（2）若，求△ABC面积．[来源:Zxxk.Com] 17．（本题满分15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？[来源:Zxxk.Com]18．（本题满分15分）在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足： ，，（1）求数列、的通项公式；（2）设，，证明：20．（本题满分16分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使得对任意，不等式成立，求整数的最大值．扬州中学2012-2013学年度第一学期质量检测高三数学试卷（附加题部分）（总分40分，加试时间30分钟）1．（本题满分10分）设矩阵是把坐标平面上的点的横坐标伸长到3倍，纵坐标伸长到2倍的伸压变换矩阵．（1）求逆矩阵；（2）求椭圆在矩阵作用下变换得到的新曲线的方程． 2．（本题满分10分）已知曲线，直线（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点在曲线上，求点到直线的距离的最小值。3．（本题满分10分）如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A－BE－C的余弦值．4．（本题满分10分）设二项展开式的整数部分为，小数部分为.（1）计算的值；（2）求.[来源:学*科*网Z*X*X*K] 扬州中学高三数学试卷答案2012.121．2．充分不必要3.4.二5．46．.7.8．④9．科网10．2[来源:学科网]11．1812.13．14.EDBACC1A1B115．证明：⑴∵中，，，，∴又在直三棱柱中，∴且，∴而，∴……7分⑵、设与的交点为，连结，∵是的中点，是的中点，∴，∵，，∴.……………14分16．解：（1）由得，，，又，∴。7分（2）由可得，， 由得，,所以，△ABC面积是14分17．解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．…………………7分（2）设该单位每月获利为,则因为，所以当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．…………15分18．解：（1）由题意得，方程为：---------------------5分（2）设的直线方程为设，（不妨设）由得，----------------------7分由得，即，即或所以，存在3个等腰直角三角形。 直角边所在直线方程为………15分注：求出的给2分19．解：（1）由题意得，解得∴…………………3分由，得，∴数列是等比数列，其中首项，公比，∴.……………………6分注：也可以累乘处理（2）①，②∴②-①得：∴………………9分∴∴……………………16分20．解：（1）当时，，∴，其中，所以，增区间为，减区间为……………………6分 综上得：……………………16分附加题答案：1．解：（1），…………5 分（2）任意选取椭圆上的一点，它在矩阵对应的变换下变为，则有，故又因为点在椭圆上，所以，即有，因此从而椭圆在的作用下的新曲线的方程为…………10分2．解：（1）…………5分（2）设椭圆的参数方程为，（其中，当时，…………10分3．解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．所以，cos<>．……………………3分由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，所以，异面直线BE与AC所成角的余弦值是．……………………5分（II），， 设平面ABE的法向量为，则由，，得，取，又因为所以平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），所以．……………………8分由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，所以，二面角A－BE－C的余弦值是．……………………10分[来源:Zxxk.Com]