《Fourier变换》PPT课件

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1、工程数学之积分变换（第四版）东南大学数学系张元林编高等教育出版社引言在自然科学和工程技术中，为了把较复杂的运算简单化，人们常常采用所谓的变换的方法来达到目的。如十七世纪，航海和天文学积累了大批观察数据，需要对它们进行大量的乘除运算。在当时，这是非常繁重的工作，为了克服这个困难，1614年纳皮尔（Napier)发明了对数，它将乘除运算转化为加减运算，通过两次查表，便完成了这一艰巨的任务。十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪，英国著名的无线电工程师海维赛德（Heaviside）为了求解电工学、物理学领域中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的

2、符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。积分变换的理论和方法不仅在数学的学多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术邻域中都有着广泛的应用。第一章Fourier变换1.1Fourier积分1.1.1傅立叶级数的复指数形式设是以为周期的周期函数，如果它在区间上满足狄利克雷条件：（1）在上连续或者只有有限个第一类间断点；（2）在上只有有限个极值点。那么，在上就可以展开成傅氏级数，在的连续点处，级数的三角形式为：(1.1)其中，若令，则(1.1)式可写成或这就是傅立叶级

3、数的复指数形式。1.1.2傅立叶积分定理若在上满足下列条件：（1）在任一有限区间上满足狄利克雷条件；（2）在无限区间上绝对可积（即积分收敛），则有(1.2)成立，而左端的在它的间断点处，应以来代替。这个公式称为傅立叶积分公式。若为奇函数，则有若为偶函数，则有它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶余弦积分公式。例1求函数的傅立叶积分表达式。解：根据Fourier积分公式的复数形式，有当时，应以代替。练习：求矩形单脉冲函数的傅里叶积分公式。解：1.2Fourier变换1.2.1Fourier变换的概念在(1.2)式中，设(1.3)则(1.4)(1.3)式称为的傅立叶变换式，可记为

4、叫做的象函数，(1.4)式称为的傅立叶逆变换，可记为ℱ叫做的象原函数。当为奇函数时，叫做的傅立叶正弦变换，而叫做的傅立叶正弦逆变换。当为偶函数时，叫做的傅立叶余弦变换，而叫做的傅立叶余弦逆变换。注：若仅在上有定义，且满足Fourier积分存在定理的条件，也可采用奇延拓或偶延拓的方法，得到相应的Fourier正弦积分展开式或余弦积分展开式。例1求函数的傅立叶变换及其积分表达式，其中，这个叫做指数衰减函数，是工程技术中常碰到的一个函数。解：傅立叶变换为故所求积分表达式为例2求函数的正弦变换和余弦变换。解：的正弦变换为的余弦变换为1.2.2非周期函数的频谱Fourier变换和频谱概

5、念有着密切的联系，随着无线电技术、声学、振动学的蓬勃发展，频谱理论也相应地得到了发展。在频谱分析中，傅氏变换又称为的频谱函数，而模称为的振幅频谱，简称频谱，它是的偶函数，即。1.3Fourier变换的性质1、线性性质设ℱ，ℱ，是常数，则ℱ2、对称性质若ℱ，则有ℱ，ℱ3、位移性质ℱℱ例1求矩形单脉冲的频谱函数。解一：由定义，有解二：因的频谱函数为故ℱℱ4、微分性质如果在上连续或只有有限个可去间断点，且当时，，则ℱℱ推论：若在上连续或只有有限个可去间断点，且则有ℱℱ象函数的导数公式ℱ例2已知函数，试求ℱ及ℱ。解：由1.2中例1可知，的傅里叶变换为利用象函数的求导公式，有ℱℱ5、积

6、分性质若时，则ℱℱ运用傅立叶变换的线性性质、微分性质以及积分性质，可以将线性常系数微分方程（包括积分方程和微积分方程）转化为代数方程，通过解代数方程与求傅立叶逆变换，就可以得到相应的原方程的解。272.单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.28在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示

7、上述电路中的电荷函数,则当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.29如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数:有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.30de(t)1/eeO（在极限与