《充要条件》（人教A版）

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1、本课时编写：河北峰峰第一中学付子旺老师第一章·常用逻辑用语充要条件曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有一条大路，前者路险，但近50里；后者路平，但远50里．曹操发现“小路山边有数处起烟，大路并无动静”．曹操推断“诸葛亮多谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故燃炊烟，最终使曹操败走华容道．曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件，经过推理，得到的结论当然是不可靠的．请同学们回顾上一节课学习过的内容：什么是充分条件？必要条件？什么是不充分

2、也不必要条件？1、“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；2、“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；3、“个位数字是0的自然数”是“这个自然数能被3整除”的不充分也不必要条件小结：若pq,但qp，则称p是q的充分但不必要条件；若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：pq，故

3、p是q的充分条件；又qp，故p是q的必要条件．此时,我们说,p是q的充分必要条件充要条件p⇔q既不充分也不必要条件充分不必要必要不充分充分必要充要充分不必要必要不充分充分必要一定有一定有例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p:x＞0,y＞0,q:xy＞0；（3）p:a＞b,q:a+c＞b+c；（4）p:x＞5,,q:x＞10（5）p:a＞b,q:a2＞b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，pq，且qp，即pq，故p是q的

4、充要条件；命题（２）中，pq,但qp，故p的q的充分不必要条件；命题（４）中，pq，但qp，故p是q的必要不充分条件；命题（５）中，pq，且qp，故p是q的既不充分也不必要条件；2、从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：①若,则是充分条件；②若,则是必要条件；③若AB，则是充分而不必要条件;④若BA，则是必要而不充分条件;⑤若，则是的充要条件；⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.练习：P12：1、2例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙

5、O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．证明过程略．设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问：（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？补充练习：B[解析]由题意得，A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故为充要条件，选C．CA命题方向1⇨充要条件的判断C『规律总结』判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立，若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是

6、q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．D(2)(2017·福建龙岩市高二期末)设x∈R，则“x>1”是“x2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]因为“x>1”，则“x2>1”；但是“x2>1”不一定有“x>1”，所以“x>1”，是“x2>1”成立的充分不必要条件．故选A．AA『规律方法

7、』1.如果条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行．2．用集合的关系判断充要条件时，关键抓住已知A＝{x

8、p(x)}，B＝{x

9、q(x)}，则A⊆B⇔p是q的充分条件，q是p的必要条件．A(2)(2017·北京理，6)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]方法1：由题意知

10、m

11、≠0，

12、n

13、≠0.设m

14、与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝