《单位圆与三角函数线》课件2

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1、1.2.2单位圆与三角函数线前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0º到360º角的三角函数的一组公式，由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设P点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，1.单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，

2、则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).2.有向线段的概念：带有方向的线段叫有向线段；有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。如在数轴上，

3、OA

4、=3，

5、OB

6、=3设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M；做PN垂直y轴于点N，则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.3.三角函数线根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)其中cosα=OM，sinα=ON.这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与

7、纵坐标.以A为原点建立y’轴与y轴同向，y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T’)，则tanα=AT(或AT’)我们把轴上的向量分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.例1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。例2.比较大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.解：由三角函数线得sin1cos1.5tan2

8、50º.例4.利用三角函数线证明

9、sinα

10、+

11、cosα

12、≥1.证明：在△OMP中，OP=1，OM=

13、cosα

14、,MP=ON=

15、sinα

16、，因为三角形两边之和大于第三边，所以

17、sinα

18、+

19、cosα

20、≥1。例5.已知α∈(0，)，试证明sinα<α

21、ON

22、=

23、MP

24、,α=tanα=

25、AT

26、.又所以即sinα<α

27、线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段3.特殊情况：①当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。②当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。