《4.1.1 定积分的背景 面积和路程问题》课件 2

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1、1．了解定积分的实际背景．2．了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．3．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．【课标要求】《4.1.1定积分的背景面积和路程问题》课件1．“以直代曲”，“以不变代变”的思想的运用．(难点)2．正确求出曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．(重点)【核心扫描】曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图)．自学导引1．曲边梯形y＝f(x)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用、、、的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.：求曲边梯形面积和变速直线运动路程采用了怎样的方法？在解决这两类问题时，我

2、们通过“四步曲”来解决，即分割、近似代替、求和、取极限，并且都归结为求一个特定和式的极限，同时注意分割越细越准确，并且在近似代替过程中我们可以取区间的左端点值，也可以取右端点值．2．求变速直线运动的位移(路程)分割近似代替求和取近似值提示(1)将x的取值n等分．画出n个小矩形(一种以小曲边梯形的较长腰为高，一种以小曲边梯形的较短腰为高)(2)计算上面相应两种情形的面积S1(过剩估计值)、s1(不足估计值)．(3)计算S1－s1的值，看误差是否符合要求．(4)若符合要求，过剩估计值，不足估计值均趋于曲边梯形的面积．名师点睛1．求曲边梯形面积的方法在求作变速直线运动的汽车在0≤t≤1这

3、段时间内行驶的路程时，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．即将区间[0，1]等分成n个小区间，在每个小区间上，由于υ(t)的变化很小，可以认为汽车近似于作匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值．2．求做变速运动的路程的方法题型一　估计曲边梯形的面积可先将[0，1]等分，分别计算其过剩估计值与不足估计值即可．【例1】估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积．[思路探索]将区间[0，1]5等分，如图如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记

4、为S1)，显然为过剩估计值，S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计值，s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16，因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．解(1)估计曲边梯形的面积，主要是求其过剩估计值与不足估计值，其关键是合理等分x的区间，求出相应的面积之和．(2)求解面积、路程以及做功问题的基本思路所围成的平面图形．试估计这个曲边梯形的面积S，并求出估计误差．【训练1】图中阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴首先，将区间[0，

5、1]5等分，称S1为S的过剩估计值，有S1＝(0.22＋0.42＋0.62＋0.82＋12)×0.2＝0.44.s1为S的不足估计值，有s1＝(0＋0.22＋0.42＋0.62＋0.82)×0.2＝0.24.过剩估计值S1与不足估计值s1之差为S1－s1＝0.2.解驶的路程s＝vt，如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？求变速运动的路程，可转化为求曲边梯形面积，只要判断准函数v(t)的单调性，就不难得出不足估计值和过剩估计值．题型二　估计变速运动的路程【例2】(12分

6、)汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行[审题指导][规范解答]将行驶时间1h平均分成10份．分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.7)、v(0.8)、v(0.9)近似替代汽车在0～0.1Sh，0.1～0.2h，0.2～0.3h，0.3～0.4h，0.4～0.5h，0.5～0.6h，0.6～0.7h，0.7～0.8h，0.8～0.9h，0.9～1h内的平均速度．(3分)求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值．S1＝[v(0)＋v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)

7、＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)]×0.1＝1.715(km)，(6分)分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(0.4)，v(0.5)，v(0.6)，v(0.7)，v(0.8)，v(0.9)，v(1)替代以上时间段的平均速度．求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值．s1＝[v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)＋v(1)]×0.1＝1.615(km)．(11分)