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1、§1定积分的概念1.1定积分的背景一面积和路程问题江西金溪一中吴志刚E—mail:jxjxyizh@163.com【教材分析】《1・1定积分的背景一面积和路程问题》是北京师范大学出版社选修2-2第四章第一节的第一节课的内容。本节的主要内容主要是展现定积分的实际背景，即求曲边梯形的面积、求变速运动物体的路程、求物体拉力做的功，通过对这些问题的解决，总结出这些问题的解决思路：即通过分割求和、减小误差、提高精度的过程，这个过程是定积分思想的核心，为定积分的概念的引入奠定了背景和方法的基础。【教学目标】1・知识与技能了解求简申训边
2、梯形（X轴上方）的面积的一般求法（即“分割—以直代曲一求和一逼近”），在“以直代曲”方案比较中构建出简单合理的曲边梯形面积的求法。2・过程与方法在解决问题（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中构建数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证。3•情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，坚定数学学习的信念。【教学重点】对实际问题解决过程的分析(即如何通过分割、求和、取极限求出曲边梯形面积和变速直线运动物体的路
3、程)，这个过程是积分思想的灵魂。【教学难点】问题求解的分析过程及解题思路的总结提炼【教学方法】教法：情景引入、问题探究、分组式教学构思如下：提出问题f问题探究f分组解决一得出结论一对比，总结学法：让学生从熟悉的知识入手，学会利用知识的迁移规律，把知识转化成相应的技能，从而提高学生灵活运用的能力。【教学手段】用多媒体将曲边梯形的分割过程动态展示出来【教学步骤】一、创设情境，提出问题已知一物体作直线运动，经过ts后的运动速度为v(t)(单位:m/s),若物体运动的速度v(t)的图像分别如下,试求tG[a,b]内物体运动的总路程
4、S。rti物理学知识可知，以上三个图形中的总路程s均为图中阴影部分的面积。对于图（1）的面积，可以直接来求出梯形的面积；对于图（2）的面积，可以通过分割成三个梯形，然后求岀其面积和;对于图（3）这样的平面图形，通常称为曲边梯形，如何求出它的面积S呢？【设计意图】三个图形中，前两个图形是由直线段围成的，图（1）是求梯形的面积，图（2）是通过分割化为图（1）的形式来求出，主要将不熟悉图形的面积转化到熟悉的图形来求解，图（3）是由直线段和曲线段围成的，可引导学生将这个图形如何转化到自已比较熟悉的图形。y二、自主探究，找出规律为了
5、便于研究问题，不妨将问题简单化，将图（3）的曲边梯形看成由直线x=0,x=l,y=0,y=x?所围成的图形，它的面积为S。通过电脑演示图（3）面积的分割过程，启发学生将曲边梯形分为若干小曲边梯形，并能提出以矩形面积和梯形面积近似替代曲边梯形面积，初步形成“分割一以直代曲一求和一逼近”的问题解决方案。在具体“以直代曲”的过程中乂通过小组讨论的形式得出三种方案。图（1）中所有的小矩形的面积之和（记为S］）大于所求的曲边梯形的面积S,我们称S］为s过剩估计值；图（2）屮所有的小矩形的面积之和（记为S2）小于所求的曲边梯形的面积S
6、,我们称S2为S不足估计值。2・分组落实分三组分别求图（1）、图（2）、图（3）的面积（1）分割方法把区间［0,1］等分成n个小区间［0,丄］，［丄,勻,…,［匸丄,丄］，…,［仝丄,巴］,nnnnnnn每个小区间的长度均为丄，过各区间端点作x轴的垂线，从而得到nn个小曲边梯形，它们的面积分别记作AS】，AS2,…，ASP…，即△S丄=（d）21=gilonnnnn②对于区间［d丄］上的小曲边梯形，以区间右端点的函数值nn/』）=（『为矩形的一边长，丄为矩形的另一边长的小矩形面积近似nnn代替小曲边梯形的面积，即ASi^/
7、（i）l=（i）2l=4onnnnn②对于区间［0,丄］上的小曲边梯形，也可以用梯形而积来计算，即nn以区间左端点的函数值为梯形的上底，区间右端点的函nn数值/（丄）=（丄）2为梯形的下底，丄为梯形的高的小梯形面积近似代替nnn小曲边梯形的面积，即严丄
8、匸与+（丄）2厶2nnn2n（3）分组求和对于①的面积和S］=A（12+22+32+・・・+刊=^1^）（1+丄）（2+丄）n6rr6nn对于②的面积和S2=-t［02+12+22+•••+（«-1）2］=S・1）（?・1）二丄（1・丄）（2・-）n6n厶6nn对于③的面积
9、和q1r/02z1x2111rv1、2z22i11r/"1x2IS3—斤［（_）+（—）］—+—［（—）+（_）］—+••*+—［（）+（_）］—2nnn2nnn2nnn=占2（丄）2+2（争+.・・+2（口）2+2（巴）2・1］2nnnnn1l2+22+---+/t2212n2+l112nn~2n3n
