信号与系统教案第6章·西安电子科技大学

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1、第六章离散系统z域分析6.1z变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域6.2z变换的性质6.3逆z变换6.4z域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、利用z变换求卷积和四、s域与z域的关系五、离散系统的频率响应点击目录，进入相关章节第六章离散系统z域分析在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。6.1z变换一、从拉氏变换到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得令

2、z=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)→f(k)，得称为序列f(k)的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z-1[F(z)]；f(k)←→F(z)6.1z变换二、收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。收敛域的定义：对于序列f(k)，满足所有z值组成的集合称为z变换F

3、(z)的收敛域。6.1z变换例1求以下有限序列的z变换(1)f1(k)=(k)↓k=0(2)f2(k)={1,2,3,2,1}解(1)可见，其单边、双边z变换相等。与z无关，所以其收敛域为整个z平面。(2)f2(k)的双边z变换为F2(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2收敛域为0<z<∞f2(k)的单边z变换为收敛域为z>0对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时它在0或/和∞也收敛。6.1z变换例2求因果序列的z变换（式中a为常数）。解：代入定义可见，仅当az-1<1，即z>a=时，其z变换存

4、在。收敛域为

5、z

6、>

7、a

8、6.1z变换例3求反因果序列的z变换。解可见，b-1z<1,即z<b时，其z变换存在，收敛域为

9、z

10、<

11、b

12、6.1z变换例4双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解的z变换。可见，其收敛域为a<z<b（显然要求a<b，否则无共同收敛域)序列的收敛域大致有一下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；6.1z变换

13、注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。例f1(k)=2k(k)←→F1(z)=,z>2f2(k)=–2k(–k–1)←→F2(z)=,z<2对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。常用序列的z变换：(k)←→1，z>0(k)，z>1，z<1–(–k–1)6.2z变换的性质一、线性6.2z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。若f1(k)←→F1(z)1<z<1,f2(k)←→F2(k)2<z<2对

14、任意常数a1、a2，则a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z))与F2(z)收敛域的相交部分。例：2(k)+3(k)←→2+，z>16.2z变换的性质二、移位（移序）特性单边、双边差别大！双边z变换的移位：若f(k)←→F(z),<z<，且对整数m>0，则f(km)←→zmF(z),<z<证明：Z[f(k+m)]=单边z变换的移位：若f(k)←→F(z),

15、z

16、>，且有整数m>0,则f(k-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(k-2)←→z-2F(z)+

17、f(-2)+f(-1)z-16.2z变换的性质f(k+1)←→zF(z)–f(0)zf(k+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)z证明：Z[f(k–m)]=上式第二项令k–m=n特例：若f(k)为因果序列，则f(k–m)←→z-mF(z)6.2z变换的性质例1：求周期为N的有始周期性单位序列的z变换。解z>1例2：求f(k)=kε(k)的单边z变换F(z).解f(k+1)=(k+1)ε(k+1)=(k+1)ε(k)=f(k)+ε(k)zF(z)–zf(0)=F(z)+F(z)=6.2z变换的性质三、序列乘ak(z域尺度变

18、换)若f(k)←→F(z),<z<，且有常数a0则akf(k)←→F(z/a),a<z<a证明：Z[akf(k)]=例1：akε(k)←→例2：cos(k)ε(k)←→?cos(k)ε(k)=0.5(ej