[工学]信号与系统教案第5章·西安电子科技大学

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1、第五章连续系统的s域分析5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三、(单边)拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的性质5.3拉普拉斯变换逆变换5.4复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的s域框图四、电路的s域模型点击目录，进入相关章节第五章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一

2、章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为

3、f(t)e-t=Fb(+j)=ℱ[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有5.1拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。5.1拉普拉斯变换例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=>

4、时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界5.1拉普拉斯变换例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=<时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。5.1拉普拉斯变换例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当>时，其收敛域为

5、(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。5.1拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换简记为F(s)=£[f(t)]f(t)=£-1[F(s)]或f(t)←→F(s)5.1拉普拉斯

6、变换四、常见函数的拉普拉斯变换1、(t)←→1，>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指数函数e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→5.1拉普拉斯变换4、周期信号fT(t)特例：T(t)←→1/(1–e-sT)5.1拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Re[s]>0要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：（1）0<0，即F(s)的收敛域包含j轴，则f(t)的傅

7、里叶变换存在，并且F(j)=F(s)s=j如f(t)=e-2t(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；则F(j)=1/(j+2)5.1拉普拉斯变换（2）0=0，即F(s)的收敛边界为j轴，如f(t)=(t)←→F(s)=1/s=()+1/j（3）0>0，F(j)不存在。例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里叶变换不存在。5.2拉普拉斯变换性质5.2拉普拉斯变换性质一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]

8、>2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有实数a>0，则f(at)←→Re[s]>a05.2拉普拉斯变换性质例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号