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1、补充例题：杆OA绕O点作定轴转动，小环C活套在OA杆和半径为R的固定圆环上，此固定圆环与OA杆在同一平面内且通过O点，已知OA杆与的夹角，求小环C在任一时刻的速度、加速度的大小。解：方法1:选直角坐标系方法2：选取极坐标系（以O为极点，OX为极轴，为极角）C点的极坐标运动方程为：方法3：选自然坐标系取C点的已知轨道（大园环）为弧坐标，时，C点位置（D点）为弧坐标的原点，并以角正向为弧坐标的正方向，则C点的弧坐标运动方程为：§4质点运动微分方程及其积分Theequationandtheirintegrationofmotionofparticle质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的
2、物体。例如：研究卫星的轨道时，卫星质点；刚体作平动时,刚体质点。一、牛顿三定律明确:1.第一定律是第二定律所不可缺少的前提,因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12.爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.第一定律第二定律第三定律表述自由质点有保持静止或匀速直线运动的性质，直到其它物体对它作用的合力迫使它改变这种状态。质点受外力作用，其加速度大小与合外力大小成正比，与物体的惯性质量成反比，加速度的方向与合外力方向相同。两质点间的相互作用力，总是
3、沿同一直线等值反向的。要点1、惯性—质点具有保持其速度不变的性质。2、力（物体之间相互作用）是改变运动状态的原因。1、惯性质量m2、反映,m和之间的定量关系。3、具有瞬时性、矢量性、迭加性。1、作用力和反作用力是成对出现，成对消失的。2、作用力和反作用力必定属同一性质，作用在不同质点上。关系给出了运动状态改变，惯性及受力的定性关系，是三大定律中的前提和基础。给出了运动状态改变，惯性及受力的定量关系，是三大定律中的核心。给出了相互作用力之间的定量关系，是对第二定律的补充。3.一般工程问题地球可以看作惯性参考系;如果物体运动的尺度很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心
4、为惯性参考系;在分析行星的运动时,地心本身作公转,必须取日心参考系.太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-8厘米/秒2,一般来说可以不用考虑了,可以认为足够精确的了.基本定律:质量为m的质点受力Fi(i=1,2,….n)的作用,在惯性系中的加速度为a,则:二、运动微分方程将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。（1）矢量形式1.运动微分方程（2）直角坐标形式解二阶常微分方程将出现积分常数，共6个。由质点的初始条件决定：线性:力是位置和速度的线性函数，有一般的解法，线性方程只是实际问题中的少数情况.非线性:力是位置和速度的非线性函数，无一般的解法，实际问题中大多
5、数是非线性的.（3）自然形式（4）平面极坐标形式若质点在xOy平面上运动:R为约束反作用力质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有球坐标形式,柱坐标形式等等。2.约束牛顿力学中力的分类若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束,其方程为约束方程,约束对质点的作用力为约束力(约束反力).约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.质点受到约束,其自由度减少.（1）约束的概念和约束方程钢轨，平面，摆长第一章（2）约束力和主动力约束是通过约束物实现的,为强制质点满足约束条件,约束物与质点间有
6、力的相互作用,称约束物对质点施加的力为约束力(或称为约束反力,约束反作用力).用数学方法表述约束条件的方程称为约束方程。弹簧弹性力、万有引力、电磁力主动力已知力的函数,约束力是未知的.而把质点所受的,除约束力之外的其他力称为主动力(叫非约束力可能更准确).主动力的主要特点是已知，或大小，或方向，或函数关系空气阻力也是主动力第一章而约束力的主要特点是未知，取决于约束与介质的性质以及质点的运动状态。被动。只有被动力不能引起质点的任何运动。绳的张力、面的支撑力、摩擦力质点运动的约束微分方程：第一章一般采用自然坐标系.1)光滑约束，约束力在轨道的法平面内(1)式求出运动规律,(2)和(3)解
7、出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.第一章2)非光滑约束4个方程4个未知数,可解应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。第一章两类基本问题：1)已知运动求力2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。解体步骤：1）作图，受力分析;2）写出方程，选坐标系投影;3）积分求解，分析解的物理意义.4.运动微分方程的解1)自由质点的运动微分方程组及例题（1）力仅是时间的函数,F=F(t)例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动电子所
