一半径为的均匀带电圆环.doc

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1、习题1.一半径为的均匀带电圆环，电荷总量为，求：(1)圆环轴线上离环中心点为处的电场强度题1图解：(1)如图所示，环上任一点电荷元在点产生的场强为由对称性可知，整个圆环在点产生的场强只有分量，即积分得到2.半径为的圆面上均匀带电，电荷面密度为，试求：(1)轴线上离圆心为处的场强，(2)在保持不变的情况下，当和时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当和时结果如何?题2图解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为的圆环，它所带的电荷量为由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为则整个均匀带电圆面在轴线上点出产生的场强为（2）若不变，当时，则；当，则(3)若保持不变，当时，此带电圆

2、面可视为一点电荷。则。当时，，则。1.在介电常数为的无限大约均匀介质中，有一半径为的带电的导体球，求储存在介质中的静电能量。解：导体在空间各点产生的电场为故静电能量为2.有一同轴圆柱导体，其内导体半径为，外导体内表面的半径为，其间填充介电常数为的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷。试证明储存在每米长同轴导体间的静电能量为证：在内外导体间介质中的电场为沿同轴线单位长度的储能为1.已知两半径分别为和的同轴圆柱构成的电容器，其电位差为。试证：将半径分别为和，介电常数为的介质管拉进电容器时，拉力为证：内外导体间的电场为插入介质管后的能量变化为式中为介质管拉进电容器内的长度。故拉力为2.求均匀

3、极化介质圆球的极化电荷分布。题6图均匀极化介质解：圆球表面上存在极化电荷，在半个球面上为正电荷，另半个球面上为负电荷，分布不均匀。以平行于的直径为轴，如题6图所示，则与轴夹角为的地方，极化电荷面密度为1.真空中一半径为的圆球空间内，分布有体密度为的电荷，为常量。试求静电能量。解：应用高斯通量定理，得出电场强度故2.今有一球形薄膜导体，半径为，其上带电荷。求薄膜单位面积上所受膨胀力。解：孤立导体球电容采用球坐标，原点置于球心，选为，则的方向与增大的方向相同，为膨胀力。单位面积上的力为该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。1.在半径为的球体内，均匀分布着电荷，总电荷量为，求各点的电场，并计算电

4、场的散度和旋度。(a)（b）题9图电荷的球体分布解：由于电荷分布的球对称性，电场只有沿方向的分量，并且在与带电球同心的球面上电场的值处处相同。因此，在的区域内，可取半径为的同心球面为高斯面，如题9图所示。高斯面上各点的电场与面元的方向相同。于是，由高斯定理，有所以矢量形式为在的区域内，同样可作出半径为的球面为高斯面。于是，有式中为高斯面内的电荷，其值为所以当时，由上面的推导结果得出相同的值为；当时，即超过这个表面时电场是连续的。关于上面的结果示于题9图（b）上。下面计算电场的散度和旋度。在的区域内，有而在的区域内，有1.已知电场强度如下式所示，求体电荷密度。解：因为所以2.真空中有一电荷

5、线密度为的圆环形均匀带电线，其半径为。试求圆环轴线上任一场点处的电场强度。题11图解：采用圆柱坐标系，取圆环中心为原点，并使圆环的轴线与轴重合，如图所示。在圆环上任取一线电荷元，即，它在场点处所产生的场强元为其中：。由于电荷分布对称，场点处场强元的径向分量相互抵消，故只需计算场强元的分量，于是在求整个带电圆环在点所产生的场强时，应将场点坐标暂时视为常量，而只对源点坐标积分，但积分后场强仍是场点坐标的函数，这和数学中的累积分（偏积分）类似，即故1.半径为的空心球金属薄壳内，有一点电荷，离球小距离为，，如图所示。巳知球壳为个性，即壳内外表面总电荷为零。求壳内外的电场。题12图（a）解：点电荷

6、在壳内表面产生感应电荷为金属球壳既然为中性，必须壳外表面有感应电荷。由于金属中电场强度为零，即无电力线穿过金属，故该壳有屏蔽作用。壳内电场强度仅由点电荷和感应电荷决定，而与感应电荷无关。壳外电场强度仅由感应电荷决定，而与点电荷和感应电荷无关。计算壳内电场强度时，采用镜象法将的作用用镜象电荷来代替，如图所示。距球心为，，即与的位置对球心互为反演关系。的量值为根据和即可计算出壳内电场强度。题12图（b）计算壳外电场强度时，可视力和皆不存在。由于为均匀分布，将集中于球心是等效的。1.真空中，电荷按体密度分布在半径为的球形区域内，其中为常数。试计算球内、外的电场强度和电位函数。解：由于电荷分布具

7、有球对称分布，电场也应具有球对称分布，因此，沿半径方向，且只是的函数。作一半径为的同心球面，应用高斯定律的积分形式可得。当时而为球面包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。因此当时取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为球面上的电位为当时由于，在球外，电场和电位还可以写成1.已知空间某一区域内的电位分布为，求此空间内的体电荷分布及电场强度。解：先求电荷体密度把已知电位分布，代入泊松方程，得再求电场强度由2.将介电常数为、内外半径分别为和的