高考数学二轮复习：第20讲数形结合思想

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1、数形结合思想数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1)“以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因而在高考中占有非常重要的地位．数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，有点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1)实数与数轴上点的对应；(2)

2、函数与图象的对应；(3)曲线与方程的对应；(4)以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，有复数、三角、空间点的坐标等．数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．1.已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(B)∩A＝{9}，则A＝________.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.3.直线y＝1与曲

3、线y＝x2－x＋a有四个交点，则实数a的取值范围是________．4.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【例1】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：x－y－1131－11310(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【例2】如图，甲船以每小时30海里的

4、速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？【例3】在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．【例4】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解

5、集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；10(2)是否存在自然数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由．1.(2011·福建)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．2.(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．3.(2009·全国)如图，三棱锥ABCD的侧面是

6、顶角为40°，腰长均为1的全等三角形，动点P从三棱锥ABCD的顶点B沿侧面运动一圈再回到点B，则动点P所走的最短路径长为________．4.(2008·江苏)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于x∈[－1,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(1)设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨

7、迹；(2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．6.(2010·天津)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.10(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．(2011·南通三模)(本小题满分16分)平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)离心率为，焦点在圆x2＋y2＝1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使＝cosθ＋sinθ

8、.①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；②求OA2＋OB2.解：(1)依题意，得c＝1.于是，a＝，b＝1.(2分)所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.