薛定谔方程–方程的建立

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1、§2.3薛定谔方程–方程的建立前提假设：(1)假设不发生实物粒子的产生和湮灭；(但可以吸收和发射光子)(2)假设所涉及的实物粒子运动速率都比较低，不用考虑相对论。ErwinSchrödinger(1887-1961)22iV(,)rttm2§2.3薛定谔方程–概率流密度和概率守恒粒子概率守恒(,)rtjr(,)0tt类比电荷守恒j0t粒子在空间某处出现的概率的改变，是通过概率流的方式与空间其它处进行概率传递的。§2.3薛定谔方程–波函数的标准条件(1)平方可积：在没有实物粒子湮灭和产生的情况下，粒子在空间各点出现概率的总和为1。*

2、dd1VV波函数的归一化条件。要求波函数平方可积。electron(,)rt描述同一种状态。Ct(,)r2有意义的相对概率分布：(,)rt22常数Ct(,)r相同的相对概率分布。§2.3薛定谔方程–波函数的标准条件(2)有限、单值和连续：物理上要求粒子的概率密度(r,t)和概率流密度j(r,t)在任一时刻、在空间任一点的值为有限、单值和连续的。因此，波函数应当在全空间内满足有限性、单值性和连续性。如果V(r,t)是r的连续函数(或在某些间断点上为有限的突变)，则Schrödinger方程要求波函数对空间坐标的一阶导数也连续。(3)态叠加原理：设(r,t)、(r,t)

3、、(r,t)…满足粒子Schrödinger方程，则其123线性组合c11c22c33也满足Schrödinger方程，是描述粒子状态的波函数。§2.3薛定谔方程–定态薛定谔方程假设粒子所处的外场V(r)不随时间改变。-e,me例如：在原子体系中，电子所在的库仑场2ZeVr()+Ze,M4r0分离变量(,)rrtu()()ft22代入iV()rtm2两边同除以(r,t)，得2idf12V()rru()cons.设为Eftdt()u()r2midf则有Eftdt()212V()rru()=Eum(

4、)r2§2.3薛定谔方程–定态薛定谔方程时间部分函数满足微分方程dft()Eft()dtii解为ft()Cexp(Et)C为常数。空间部分函数满足微分方程22V()ru()=rEu()r2m粒子的能量i总波函数(,)rrtu()exp(Et)ETV已经把常数C并入空间波函数u(r)。比较：自由粒子的平面单色波(特殊情况：V=0)iiprEti(,)rrt0eeu()exp(Et)ET§2.3薛定谔方程–定态薛定谔方程定态：(1)体系的能量E=T+V不随时间变化；(2)粒子的概率分布不随时间变化。222i(,)rrt(,)tu()e

5、xp(rrEt)u()定态薛定谔方程：22V()ru()=rEu()r2m§2.4一维定态问题–无限深方势阱一维定态问题设质量为m，能量为E的粒子沿x轴运动，势能是不含时的V(x)，则这是一个一维的定态问题，其Schrödinger方程：22dVxuxEux()()=()22mdx一维无限深方势阱0,0xa0aVx(),x0,orx,a一维无限深方势阱§2.4一维定态问题–无限深方势阱(1)在x<0或x>a区域，V(x)=只有u(x)=0，Schrödinger方程才能成立。物理上，粒子不可能进入这样的区域，而是完全束缚在势阱中。(2

6、)在势阱内，即0xa区域，V(x)=022du=Eu22mdx设2mE(E>0)0ak一维无限深方势阱2du2则=ku二阶齐次微分方程2dxikxikx其通解为ux()AeBeiiiEt(pxEt)(pxEt)计入时间部分的波函数(,)xtuxe()AeBex方向平面波-x方向平面波§2.4一维定态问题–无限深方势阱综合而言AeikxBeikx,0xaux()0,x0,orx,aA,B是待定系数。按照波函数的标准条件(1)在x=0处连续ux()AB0AB0ax0一维无限深方势阱ikxikx则ux()Ae(e)Aco

7、skxisinkxcoskxisinkx2iAAux()Asinkx2siniAkx§2.4一维定态问题–无限深方势阱(2)在x=a处连续ux()Asinka0xa则kan,n1,2,3,(注：若n=0，则u(x)0，无意义；若n取负整数，ux()Asin(nx)AsinnxAsinnx得不到新的波函数。)0a即2mEan,n1,2,3,一维无限深方势阱22