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1、第五讲一、大数定理二、随机变量的收敛性三、中心极限定理1一大数定律要解决的问题为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？答复大数定律中心极限定理2设为一随机变量,其数学期望和方差都存在，则对于任意有1)切比雪夫不等式2)A.L.Cauchy－Schwarz不等式.准备工作3设事件在每次试验中出现的概率为p,在n次重复独立试验中出现的频率为且贝努里（Bernoulli）大数定律证引入r.v.序列{Xk}
2、设则4记由Chebyshev不等式相互独立，5故6在概率的统计定义中,事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率与p有较大偏差是小概率事件,因而在n足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里(Bernoulli)大数定律的意义7大数定律设r.v.序列或则有是常数序列，则称 服从大数定律．8Chebyshev大数定律则有或两两不相关的随机变量,又设9两两不相关,且方差有界，则可得到10辛钦大数定律为一列相互独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望设在定理一中,去掉方差存在
3、的条件而加上相同分布的条件，则有：注相互独立的条件可以去掉，代之以（Markov）大数定律11如果对于任意的有，二 随机变量的收敛性定义1存在常数使得对于任意的有设为一列随机变量，如果记为则称依概率收敛于定义2设为一列随机变量,X是随机变量记为则称依概率收敛于12定义３:设 是一列分布函数,如果对F(x)每个连续点x，都有则称分布函数列弱收敛于分布函数F(x)，记为定义：如果则称依分布收敛于X，记为13可以证明：（１）若 则，（２）设C为常数，则充分性：F(x)是X=C的分布函数，即14３：r－阶收敛定义
4、：设对随机变量Xn及X，r>0为常数，如果且，则称r－阶收敛于X,记作特别：１－阶收敛为平均收敛，２－阶为均方收敛15４：以概率１收敛定义：若存在一随机变量X,使我们称随机序列以概率为１收敛于X,或说几乎处处收敛于X，并记为四种收敛关系：以概率１收敛或r-阶收敛依概率收敛依分布收敛16中心极限定理讨论：随机变量序列对应的分布函数序列收敛于标准正态分布函数的定理三、中心极限定理17的随机变量，且具有数学期望和方差，定理1（独立同分布的中心极限定理）任意实数有其中为标准正态分布的分布函数。设为一列相互独立相同分布则对于
5、18若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从正态分布，标准化后就服从标准正态分布。近似近似服从19对任意有，20中心极限定理的意义前面讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X，则是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和，而这个总和服从或近似服从正态分布.结果.21对此现象还可举个有趣的例子——高尔顿钉板试验——加以说
6、明.03—钉子层数22表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左或向右落下这一随机现象联系的随机变量，满足中心极限定理条件，独立投入１００个小球，23有其中为标准正态分布的分布函数。这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布项分布的概率。很大时，我们便可以利用定理2来近似计算二当定理2（德莫佛—拉普拉斯）则对于任意实数设24对任意有，25某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有X
7、部分机同时使用外线，则有设有N条外线。由题意有例26由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得故N应满足条件即27——对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值——对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性数理统计的分类描述统计学推断统计学第2章数理统计的基本概念28参数估计(第3章)假设检验(第4章)推断统计学方差分析(第6章)回归分析(第5章)29总体——研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X的分布函数和数
8、字特征称为总体的分布函数和数字特征.总体和样本§2.1基本概念30样本——从总体中抽取的部分个体.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用表示,n为样本容量.样本空间——样本所有可能取值的集合.个体——组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值.用表示.31则称为简单随机样本.若总体X的样本满足:(1)与X有相同
