“圆规”的启示-浅谈运动学反问题

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1、“圆规”的启示——浅谈运动学反问题精仪系机07班刘晓燕（学号：000724）摘要：本文从日常生活中最常见的圆规入手，讨论求解运动学反问题的重要性。正文提出了几类简单的问题，从轨迹分析，到速度分析，再到加速度。文章最后还提出了一些自己未能解决的问题。一、引言：我们学习理论力学从最简单的运动学入手分析了质点和刚体的一般运动规律。如果仅是为了学理论而学习，有时就不免有些枯燥。其实任何一门科学都是为了实际应用而产生的，力学知识无论是在工程技术还是日常生活中都随处可见。就拿我们经常用的圆规来说，就用到了刚学过的运动学知识。我们的目标

2、是要得到一个圆的轨迹，从这样的目的出发设计了如图所示的机构,并给它输入运动：一脚固定，另一脚绕固定脚定轴转动，活动脚尖所得轨迹就是圆。通过改变两脚间距还可改变圆半径。圆规的设计和使用过程实际上就是对运动学反问题的求解过程。在课程学习的过程中，我们大多数处理的都是给定一个系统和它的主动件的输入运动，来求解从动件（或从动件上的点）的输出运动（包括轨迹、速度和加速度）。但我认为，实际中，运动学的反问题要更为重要一些，即已知要输出的运动，来求解可得这样运动的机构，或输入的运动。理论力学的运动学知识是基础，求解反问题是运动学知识的直

3、接应用。当然，这样的反问题求解的一般方法是比较复杂的，要对解的不唯一性进行讨论，同时还要分析各个不同解的有优点和局限性。限于所学知识，下文仅就目前接触到的一些情况加以分析，从三个角度：轨迹、速度、加速度，其中又以轨迹分析为主。二、由已知输出轨迹来讨论机构和输入运动的不同情况BFOwPO(a)(b)(c)1）最简单的例子——圆AO如引言所述，我们要得到一个运动轨迹为圆的质点，可以有如下几种不同的机构：(a)是该问题最简单的解法，圆规的实质就是该机构。它由轴O带动杆OB，需要输入的运动是中央轴的定轴转动，从而带动杆OB的定轴转

4、动，则B点的运动轨迹就是所求圆。[对比：运动学通常给定的是这样的系统和OB杆的定轴转动，求点B的运动轨迹。](b)直杆两端分别靠在直角约束的两个面上，拉动一端（如图中A端）使之沿直线运动，则杆中点的运动轨迹为圆。[见课本P7例1-1梯子下滑]简单验证：建立如图所示坐标系，P(x,y)A(2x,0)B(0,2y)222由约束条件可得(2x)+(2y)=l222即x+y=l/4这种机构的优点就在于不必输入转动，可利用输入直线运动来得到圆的轨迹。(c)这个机构的设计是从圆的一个很重要的几何性质出发：直径所对的圆心角是直角，充分利

5、用直角滑槽，给定两个固定点D和E，给一根杆输入转动，则十字滑槽中心点运动轨迹就是圆。课本P19习题1-5对该系统的F点输出运动情况进行了讨论。[注]：这些机构都从运动学部分习题中摘录下来，动点的输出运动轨迹都是圆，但机构设计各有特点，输入运动也各不相同，各有不同用途，由此可略见运动学反问题求解的多样性。2）更一般地——要得到椭圆轨迹HFACGPBvD(e)EA(f)(d)（d）机构与输入运动与（b）中相同，只是动点C选在除中点以外的其他点，则点C的运动轨迹为椭圆。简单验证：建立如图所示坐标系C(x,y)已知AC/AB=b/

6、l可得A、B两点坐标分别为（0,yl/(l-b)）(xl/b,0)由约束条件可得2222222(xl/b)+(yl/(l-b))=l化为x/b+y/(l-b)=1[椭圆]（e）反平行四边形机构FH=DE;DF=EH输入运动为DF杆绕D点的定轴转动，则G点的运动轨迹为椭圆。[见课本p56习题2-18][注]；本机构的设计从椭圆的一个很重要的几何性质出发：椭圆上的点到两定点（焦点）的距离和为常数。由⊿DGE≌⊿HGF可得DG=HG;GF=GE由于DG+GF=const则GD+GE=const即G点的运动轨迹为椭圆.(f)该机构

7、即为我们平时所用的椭圆画规。其基本结构原理与（d）中梯子下滑模型相同，只是输入运动变为A轴的定轴转动，在此情况下J点的运动轨迹为圆，则点P的运动轨迹为椭圆。3）稍微复杂一些的问题——控制车床刀尖的运动轨迹今年暑假小学期我们金工实习亲手操作车床加工零件，那些操作方法都是工人师傅靠经验教给我们，里边的原理并不是很清楚，现在回想起来，这里边蕴涵着很多运动学知识。刀尖在工件上运动的轨迹是我们所预想的，那么我们给它输入什么运动来让它实现这种运动呢？——这也是运动学反问题的求解。这种反问题与前面讨论有所不同，工件的运动情况已知：不同转

8、速（可调）的定轴转动，刀尖的输入运动轨迹（绝对）是要求的，使之实现目标的相对运动轨迹。问题（1）：要得到一个以工件圆心为圆心的轨迹[经常用到的情况]，只需把刀尖移到工件表面，停在所求圆半径处即可。定量化验证：选择刀尖P为动点，建立两个坐标系：固定坐标系xOy;与工件固连的动系x’Oy’P点在两个坐标系下