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《同济五版高等数学课后答案2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题2−14(1)y=x;32(2)y=;x1.6(3)y=x;1(4)y=;x1(5)y=;x235(6)y=;xx232xx(7)y=;x544−13解(1)y′=(x)′=4x=4x.22132323−12−3(2)y′=(x)′=(x)′=x=x.331.61.6−10.6(3)y′=(x)′=1.6x=1.6x.1131−1−−11−(4)y′=()′=(x2)′=−x2=−x2.x22(5)y′=(1)′=(x−2)′=−2x−3.x2161611355165−1165(6)y′=(xx)′=(x)′=x=x.55x23x2111−11−5(
2、7)y′=()′=(x6)′=x6=x6.x56638.已知物体的运动规律为s=t(m),求这物体在t=2秒(s)时的速度.2解v=(s)′=3t,v
3、t=2=12(米/秒).9.如果f(x)为偶函数,且f(0)存在,证明f(0)=0.证明当f(x)为偶函数时,f(−x)=f(x),所以f(x)−f)0(f(−x)−f)0(f(−x)−f)0(f′)0(=lim=lim=−lim=−f′)0(,x→0x−0x→0x−0−x→0−x−0从而有2f′(0)=0,即f′(0)=0.210.求曲线y=sinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:x=π,x=π.3
4、解因为y′=cosx,所以斜率分别为21k1=cosπ=−,k2=cosπ=−1.32π111.求曲线y=cosx上点(,)处的切线方程和法线方程式.32π3解y′=−sinx,y′π=−sin=−,x=323π113π故在点(,)处,切线方程为y−=−(x−),322231−2π法线方程为y−=(x−).233x12.求曲线y=e在点(0,1)处的切线方程.x解y′=e,y′
5、x=0=1,故在(0,1)处的切线方程为y−1=1⋅(x−0),即y=x+1.213.在抛物线y=x上取横坐标为x1=1及x2=3的两点,作过这两点的割线,问该抛物线上哪一点的切
6、线平行于这条割线？y)3(−y)1(9−1解y′=2x,割线斜率为k===4.3−12令2x=4,得x=2.2因此抛物线y=x上点(2,4)处的切线平行于这条割线.14.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:(1)y=
7、sinx
8、;⎧⎪x2sin1x≠0(2)y=⎨x.⎪⎩0x=0解(1)因为y(0)=0,limy=lim
9、sinx
10、=lim(−sinx)=0,limy=lim
11、sinx
12、=limsinx=0,x→−0x→−0x→−0x→+0x→+0x→+0所以函数在x=0处连续.又因为y(x)−y)0(
13、sinx
14、−
15、sin
16、0−sinxy′−)0(
17、=lim=lim=lim=−1,x→−0x−0x→−0x−0x→−0xy(x)−y)0(
18、sinx
19、−
20、sin
21、0sinxy+′)0(=lim=lim=lim=1,x→+0x−0x→+0x−0x→+0x而y′−(0)≠y′+(0),所以函数在x=0处不可导.1解因为limy(x)=limx2sin=0,又y(0)=0,所以函数在在x=0处连续.x→0x→0x又因为1x2sin−0y(x)−y)0(x1lim=lim=limxsin=0,x→0x−0x→0xx→0x所以函数在点x=0处可导,且y′(0)=0.⎧x2x≤115.设函数f(x)=⎨为了使函数f
22、(x)在x=1处连续且可导,a,b应取什么值？⎩ax+bx>1解因为limf(x)=limx2=1,limf(x)=lim(ax+b)=a+b,f(1)=a+b,x→1−0x→1−0x→1+0x→1+0所以要使函数在x=1处连续,必须a+b=1.又因为当a+b=1时x2−1ax+b−1a(x−)1+a+b−1a(x−)1f−′)1(=lim=2,f+′)1(=lim=lim=lim=a,x→1−0x−1x→1+0x−1x→1+0x−1x→1+0x−1所以要使函数在x=1处可导,必须a=2,此时b=−1.⎧x2x≥016.已知f(x)=⎨求f+′(0)及f
23、−′(0),又f′(0)是否存在？⎩−xx<0解因为f(x)−f)0(−x−0f(x)−f)0(x2−0f−′(0)=lim=lim=−1,f+′(0)=lim=lim=0,x→−0xx→−0xx→+0xx→+0x而f−′(0)≠f+′(0),所以f′(0)不存在.⎧sinxx<017.已知f(x)=⎨,求f′(x).⎩xx≥0解当x<0时,f(x)=sinx,f′(x)=cosx;当x>0时,f(x)=x,f′(x)=1;f(x)−f)0(sinx−0因为f−′(0)=lim=lim=1,x→−0xx→−0xf(x)−f)0(x−0f+′(0)=lim
24、=lim=1,所以f′(0)=1,从而x→+0xx→+0x⎧cosxx<0f′(
