资源描述：
《高等数学同济课后答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、总习题一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件.数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是存在的________条件.存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是的________条件.是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f(x)当x®x0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0-)都存在
2、且相等是存在的________条件.解(1)必要,充分.(2)必要,充分.(3)必要,充分.(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f(x)=2x+3x-2,则当x®0时,有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.解因为(令2x-1=t,3x-1=u).所以f(x)与x同阶但非等价无穷小,故应选B.3.设f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:(1)f(ex);(2)f(lnx);(3)f(ar
3、ctanx);(4)f(cosx).解(1)由0£ex£1得x£0,即函数f(ex)的定义域为(-¥,0].(2)由0£lnx£1得1£x£e,即函数f(lnx)的定义域为[1,e].(3)由0£arctanx£1得0£x£tan1,即函数f(arctanx)的定义域为[0,tan1].(4)由0£cosx£1得(n=0,±1,±2,×××),即函数f(cosx)的定义域为[],(n=0,±1,±2,×××).4.设,,求f[f(x)],g[g(x)],f[g(x)],g[f(x)].解因为f(x)³0,所以f[f(x)]=f(x)
4、;因为g(x)£0,所以g[g(x)]=0;因为g(x)£0,所以f[g(x)]=0;因为f(x)³0,所以g[f(x)]=-f2(x).5.利用y=sinx的图形作出下列函数的图形:(1)y=
5、sinx
6、;(2)y=sin
7、x
8、;(3).6.把半径为R的一圆形铁片,自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为a的函数.解设围成的圆锥的底半径为r,高为h,依题意有R(2p-a)=2pr,,.圆锥的体积为(00,要使,只需
9、x-3
10、11、当0<
12、x-3
13、14、x-3
15、0,b>0,c>0);(6).解(1)因为,所以.(2).(3).(4)(提示:用等价无穷小换).(5),因为,,所以.提示:求极限过程中作了变换ax-1=t,bx-1=u,cx-1=v.(6),因为,,所以.9.设,要使f(x)在(-¥,+¥)内连续,应怎样选择数a?解要使函数连续,必须使函数在x=0处连续.因为f(0)=a,,,所以当a=0时,f(x)在x=0处连续.因此选取a=0时,f(x)在(-¥,+¥)内连续.
16、10.设,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类形.解因为函数f(x)在x=1处无定义,所以x=1是函数的一个间断点.因为(提示),(提示),所以x=1是函数的第二类间断点.又因为,,所以x=0也是函数的间断点,且为第一类间断点.11.证明.证明因为,且,,所以.12.证明方程sinx+x+1=0在开区间内至少有一个根.证明设f(x)=sinx+x+1,则函数f(x)在上连续.因为,,,所以由零点定理,在区间内至少存在一点x,使f(x)=0.这说明方程sinx+x+1=0在开区间内至少有一个根.13.如果存在直线L:y=kx+b,使
17、得当x®¥(或x®+¥,x®-¥)时,曲线y=f(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)®0,则称L为曲线y=f(x)的渐近线.当直线L的斜率k¹0时,称L为斜渐近线.(1)证明:直线L:y=kx+b为曲线y=f(x)的渐近线的充分必要条件是,.(2)求曲线的斜渐近线.证明(1)仅就x®¥的情况进行证明.按渐近线的定义,y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线的充要条件是.必要性:设y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线,则,于是有ÞÞ,同时有Þ.充分性:如果,,则,因此y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线.(2)因为,
18、,所以曲线的斜渐近线为y=2x+1.总习题二1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件.f(x)在点x0连续是f(x)在点x
