matlab数值计算与符号计算

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1、第4章MATLAB数值计算与符号计算4.1曲线拟合与插值运算4.2数值微积分4.3线性方程组求解4.4常微分方程的数值求解4.5MATLAB符号计算4.6级数4.7实验五数值工具箱与符号工具箱的应用4.1曲线拟合与插值运算1．多项式的建立与表示方法在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示，其元素为多项式的系数，按降幂排列，缺少的幂次项系数为0。例如，多项式在MATLAB中用向量p=[1-12025116]表示。2．多项式的运算(1)多项式的加减运算多项式的加减运算就是其所对应的系数向量的加减运算。相加减的多项式必须表示成相同的次数，如果次数不同，应该把低

2、次的多项式不足的高次项用0补足。(2)多项式的乘除运算命令w=conv(u,v)表示多项式u和v相乘，例如在MATLAB中输入u=[1234]，v=[102030]，c=conv(u,v)返回c=1040100160170120conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a,b),c)。命令[q,r]=deconv(v,u)表示u整除v。向量q表示商，向量r表示余，即有v=conv(u,q)+r。(3)多项式的导函数对多项式求导数的函数有k=polyder(p)，返回多项式p的导函数；k=polyder(a,b)，返回多项式a与b的乘积的导函数；[q,d]=polyd

3、er(b,a)，返回多项式b整除a的导函数，其分子多项式返回给q，分母多项式返回给d。(4)多项式求值MATLAB中提供了两种求多项式值的函数。y=polyval(p,x)，代数多项式函数求值，若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。Y=polyvalm(p,x)，矩阵多项式求值，要求x为方阵。设A为方阵，p代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(p,A)的含义是A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(p,A)的含义是A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

4、例4.1多项式P=x4-29x3+72x2-29x+1，以4阶pascal矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。在命令窗口输入如下命令：p=[1-2972-291];X=pascal(4);A=polyval(p,X),B=polyvalm(p,X)返回A=161616161615-140-56316-140-2549-1208916-563-12089-43779B=0000000000000000(5)多项式的根使用函数roots可以求出多项式等于0的根，根用列向量表示，其调用格式为r=roots(p)若已知多项式等于0的根，函数poly

5、可以求出相应多项式，调用格式为p=poly(r)例4.2求多项式x4+8x3-10的根。命令如下：A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)返回x=-8.01941.0344-0.5075+0.9736i-0.5075-0.9736i再输入p=poly(x)返回p=1.00008.0000-0.0000-0.0000-10.00003．曲线拟合在MATLAB中用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。polyfit函数的调用格式为[P,S]=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X和

6、采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。例4.3用一个6次多项式在区间[0,2]内逼近函数MATLAB程序如下：x=linspace(0,2*pi,50);y=sin(x);P=polyfit(x,y,6)%得到6次多项式的系数和误差程序运行结果如下：P=0.0000-0.00560.0874-0.39460.26850.87970.0102绘出sinx和多项式P(x)在给定区间的函数曲线，如图4.1所示。图4.1用6次多项式对正弦函数进行拟合4．数据插值(1)一维数据插

7、值在MATLAB中，实现一维数据插值的函数是interp1，被插值函数是一个单变量函数，其调用格式为yi=interp1(x,Y,xi,method)函数根据x,y的值，计算函数在xi处的值。x,y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，xi是一个向量或标量，描述欲插值的点，yi是一个与xi等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有'linear'、'nearest'、'cubic'、'spline'，分别表示线性插值、最近点插值、3次多项式插值、3次样条插值。注意：xi的取值范围不能超出x的给定范围，否则，会