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《场论标量场的梯度矢量场的散度和旋度课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、普通物理II:数学准备(矢量代数)矢量运算:场:1，Gauss定理，Stokes定理;2，Helmholtz定理算符和标量场的梯度,矢量场的散度和旋度:场的定义,描述和类型物质的运动形式:平移,转动一维函数微分与标量场的梯度对比一维积分与梯度定理的对比1,微分与梯度df=(df/dx)*dxdT=▽T*dR2,积分与梯度定理标量场的梯度不依赖于方向的选择,是标量场在此点的独特性质.固定时,沿着梯度方向移动变化最大.多元函数的梯度:Del算子具有矢量的特征为了简化物理公式的数学表述.梯度(Gradient
2、)是一个矢量标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率.任意方向的方向导数是梯度在这个方向的投影，梯度方向是等值面的法线方向。梯度(Gradient)定理积分结果与路径无关。梯度运算规则:通量与散度,散度(高斯)定理Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem矢量场的通量(Fluxofavectorfield)矢量场的通量定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则为矢量A沿有向曲面S的通量。若
3、S为闭合曲面物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。在直角坐标系中，通量可以写成通过闭合面S的通量的物理意义：a)若，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正发射源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的发射源；b)若，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负吸收源；静电场中的负电荷就是接受电力线的吸收源；c)若，闭合面无
4、源。以万有引力来说明以上几种情况有物质在闭合面内:物质在闭合面外:以电荷来说明以上几种情况:有净正电荷:有净负电荷:电荷在闭合面外边:散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意义及特点：1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；表示矢量场在一点处的流入或流出的大小2)矢量场的散度是一个标量；3)矢量场的散度是空间位置的函数；1、定义：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即发射源／吸收源
5、的体密度发射源／正源吸收源／负源无源QQ’通过右边的面通过左边的面右+左上+下前+后散度Divergenceofavectorfield直角坐标系中散度的表示散度可用算符Del表示为Q’所有公用的面的积分相互抵消高斯定理SS1S2SS12上式称为散度定理,也称为高斯定理。散度定理Thedivergencetheorem既然矢量的散度代表的通过一个点流出或流入量的大小,因此矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理
6、解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。内部与边界的关系.散度定理：高斯定理的物理意义：场物质的守恒定律矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为环量与旋度,斯托克斯定理circulation,Curl,TheStokes’stheorem环量Circulationofavectorfield在直角坐标系中，环流可以写成越大/越小,说明什么？为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线
7、收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限这个极限的意义就是在一个点上的环流的面密度,或称环量强度。Curl(A)叫做旋度。任意方向的曲面的环流强度是旋度在这个方向上面的投影。旋度的定义和运算1、定义：旋度的物理意义矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。它描述A在该点处的旋涡源强度。若某区域中各点curlA=0,称A为无旋场或保守场。A的旋度可表示为Ｄｅｌ算子与A的矢量积,即4、旋度运算规则:在直角坐标系中有L1L2
8、L12Stokes定理因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即此式称为斯托克斯(Stokes)定理。意义：从数学角度可以认为stokes定理建立了线积分和面积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域Ｓ中的场和包围区域Ｓ的闭合线 Ｌ上的场之间的关系。如果已知区域Ｓ中的场，根据高斯定理即可求出边界Ｌ上的场，反之亦然。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem一个矢
