《波动方程》PPT课件

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1、内容复习德布罗意波光谱里德伯公式玻尔理论的三个假设氢原子r，E的公式文化物理南京航空航天大学理学院朱岩yzhu@nuaa.edu.cnhttp://gc.nuaa.edu.cn/phyandart/德拜：德布罗意波只有波动理论，没有波动方程，太肤浅了。波动方程轨道角动量电子自旋量子数及元素周期表第七章波动方程波动方程（waveequation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。第七章波动方程一、波动方程历史上许多科学家，如达朗

2、贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：u(x,t)x这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具）上，波速可以慢到1米/秒7.1波动方程的提出一、波动方程克莱因-戈尔登方程描述光子的平

3、面波：波动方程：作能量动量关系代换：得算符方程：作用在波函数A(r,t)上即得波动方程作用在能量动量关系式：克莱因-戈尔登方程，描述自由介子，不能描述氢原子。一、波动方程薛定谔方程氢原子中的电子非相对论能量动量关系：把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。一般写成：哈密顿算符如果H中不包含时间，即V(r)不含t：分离坐标和时间：上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，要相等，只能等于一个常数E，那么右边：E就是系统的能量。E为常数的状态称为定态。

4、ψψ*＝uu*，所以发现粒子的几率与时间无关。一、波动方程左边也等于E，那么：定态薛定谔方程。对于自由粒子，V＝0，u的解是平面波：薛定谔方程和定态薛定谔方程都是线性方程，解具有叠加性一、波动方程狄拉克方程薛定谔方程式非相对论性的，相对论性波动方程的哈密顿算符为：p是动量算符，而α和β是4×4矩阵由这个哈密顿量给出的薛定谔方程称为狄拉克方程，它是狄拉克在1928年提出来的。狄拉克用它不仅算出了氢原子能级的精细结构，并且解释了电子的自旋角动量和固有磁矩，还进一步语言了正电子的存在。薛定谔与狄拉克因波动方程的提出同获19

5、33年诺贝尔物理学奖。代表力学量的算符一个力学量可以用一个算符来表示，下面是薛定谔方程中常用的算符：波函数两边取对x的偏导所以动量px可以用算符来表示。同理有一、波动方程那么波函数两边取对t的偏导所以E的算符是一、波动方程薛定谔(ErwinSchrodinger,1887-1961)薛定谔方程的理解与意义：波函数（r）和E分别代表粒子的微观状态（它的平方就是粒子在空间出现的概率）和对应的能量。一、波动方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，不可能从其它更基本的方程推导出来;薛定谔方程在量子力学中的地位和作用，相当于牛顿

6、方程在经典力学中的地位和作用;若已知粒子运动所满足的薛定谔方程，可从方程求出波函数，从而掌握粒子的运动情况.说明：一、波动方程一、波动方程7.2量子化的能级7.2.1一维无限深势阱V＝0当V＝∞当定义一维势阱：求解能量为E（有限）的粒子的运动状态就需要求解定态薛定谔方程：(1)一、波动方程先解绿色区域的方程，此时V＝0，式1成为：(2)设那么代入上式故2式就是绿色区域的通解。一、波动方程在红色区域V＝∞，1式写为：设，代入上式故当当一、波动方程再来考虑绿色区域的2式：(2)根据波函数连续条件，在处，绿区红区u的取值应

7、该一样，由于红区u＝0，故绿区的u也是0，那么(3)(4)一、波动方程3+4：3-4：(5)(6)5，6两式合并：(7)一、波动方程把5，6代回2式n＝1，3，5…2，4，6…当x→±a/2时n＝1，3，5…n＝2，4，6…一、波动方程的值应该为0，故n＝1，3，5…n＝2，4，6…一、波动方程验证：123456势阱中的驻波只能如图所示，有：代入p＝h/λ得到：n＝1，2，3，…结果和准确计算结果一致一、波动方程7.2.2一维简谐振子的简单讨论一个弹簧振子的势能是：系统的薛定谔方程就是：此方程比较难解，令那么(1)(

8、2)一、波动方程令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么2化简为：(3，4)其中是简谐振子的角频率，是振动频率。方程3的解是：(5)其中是厄米多项式：(6)一、波动方程nHn(φ)0A01A1(φ)2A2(1-2φ2)3A3(3φ-2φ2)4A4(3-12φ2+4φ4)Hn(φ)一、波动方程方程5是满足波函数条件的本征函数。为了