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1、《偏微分方程教程》第四章双曲型方程1§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程§2一维波动方程2.1.齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题,在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题(2.1)满足初始条件(2.2)其中是一个正常数，函数是定义在区间上的已知函数.2§2一维波动方程特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，这个方法的实质是将方程沿特征线积分.由第三章的特征概念知,方程(2.1)的特征方程是由此求得特征曲线为其中为任意常数.
2、为了将方程(2.1)化成第一标准型,引入自变量变换即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成(2.3)《偏微分方程教程》第四章双曲型方程3§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程改写(2.3)为可以看出不依赖于变量,于是有其中是的任意连续可微函数,再对积分,得到若令,可得其中和都是任意的二阶连续可微函数.回到原来的变量和,于是波动方程(2.1)的通解为(2.4)4§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数和,由等式(2.4)有对等式(2.6)积分,得出其中是
3、任意常数.由等式(2.5)和(2.7)解出和为代入(2.4),我们得到这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(D’Alembert)公式.(2.5)(2.6)(2.7)5§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程到目前为止,表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1),(2.2)的形式解.为了使它确实是Cauchy问题(2.1),(2.2)的解,我们需要对初值加上一定的条件.定理4.3若,则由D’Alembert公式(2.8)表示的函数是Cauchy问题(2.1),(2.2)解.证明留作习题，请读者自己
4、完成.下面我们讨论Cauchy问题(2.1),(2.2)解的稳定性.定理4.4假设对任意给定的,总可找到这样的,当初始数据与满足不等式时,则与之相对应的Cauchy问题的解与满足6§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程证:只要取即可.综上所述，Cauchy问题(2.1),(2.2)的解是适定的.另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式且令,则可以得到如下一阶线性偏微分方程组(2.9)按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得D’Alembert公式(2.8).7§2一维波动方程《偏微分方程教
5、程》第四章双曲型方程上面对弦振动方程求解的特征线法,亦适用于类似方程的Cauchy问题.例1求解Cauchy问题(2.10)其中和都是已知函数.解:容易求出(2.10)中的方程的特征曲线作自变量变换8§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程就可把(2.10)中的方程化成标准型为了求出方程(2.11)的通解,我们令则方程(2.11)化为若把看作参数,方程(2.13)就是以为自变量的线性常微分方程,其通解可写为其中是的任意函数.将此表达式代入方程(2.12),得(2.13)(2.11)(2.12)9§2一维波动方
6、程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程再对求积分,便得方程(2.11)的通解其中是的任意函数.若令,上式可写成其中和都是其变元的任意连续可微函数.变回到原来的变量和,便得到方程(2.10)的通解为(2.14)下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数和.首先,容易得到下面两个等式：(2.15)10§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双曲型方程对微分(2.15),得用乘以上式再与(2.16)相加,得由此推得其中为任意常数.再将的表达式代入(2.15),得(2.16)11§2一维波动方程《偏微分方程教程》第四章双
7、曲型方程于是Cauchy问题的解可写成利用分部积分法,它又可化为至于在什么条件下,这个函数才是Cauchy问题(2.10)的解以及解的惟一性和稳定性问题,这里就不详细讨论了.12§2一维波动方程
