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1、.新课程高中数学课堂教学中的案例（一）----—再谈基本不等式的创新表示法石河子第一中学朱友忠案例：基本不等式的创新表示法《北师版·必修5》【不等式习题课】§3·4P95B组第1题略有改动题目：在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD，作CF⊥OD如图所示：请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度，指出它们之间的大小关系，并证明；ABCODEF一、归纳课本中的表示法解：∵AC=a,CB=b,∴OC=,CG=OE=在Rt△EOC中，有CE2=OC2+OE2=(
2、)2+()2=OE=OD=(同圆的半径相等)，CD=在Rt△ODC中，有CD2=DF·OD;∴DF===整理：CE=，OE=,CD=,DF=通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系，显然可以得出：CE≥OE≥CD≥DF成立；即：，当且仅当a=b时，取“=”成立。主要是建立集合图形证明。《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次出现“”的证明。二、创新课本中的表示法上课时提问：“”在全面所学的知识中与那个式子类同？学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同；学生乙说：在学习求A、B两点的中点坐标
3、公式类同；学生丙说：在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时，则函数图象的对称轴x0=的表达式类同；学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同。通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间进行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说明“”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式；而且在大学的数学课本中还有与上述类同式子的应用。ABCDEFab图(1)同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来表示：“”，“”“”，“”是成立的；则它们分别
4、代表哪四条线段呢？ABCDGHab图(2)设梯形的下底AB=b，上底CD=a，如图(1),于是就有：(1).梯形的“中位线”EF=,显然成立；证明很简单略在初中的平面几何中已经证明。(2).在梯形中，作GH∥AB与两腰相交于G、H；如图(2),使得梯形ABHG与梯形GHCD相似，则,即GH=显然成立；称GH为“相似线”(3).在梯形中，过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于P、Q；如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB,ABCDPQabO图(3)则，即，∴x=①
5、△BOQ∽△BDC,有，即，∴y=②由①，②可得，PQ=x+y=+=即PQ=③图(4)ABCDMNabh1h2KS在梯形中，△ODC∽△OBA,有,即④..将④代入③中消去得:PQ=,称PQ为“调和线”(4).在梯形中，作MN∥AB与两腰相交于M、N；如图(4),使得梯形图(5)ABCDEFabPPQGHMNABNM与梯形MNCD的面积相等，设MN=x,则有，⑤，在梯形中，△CKN∽△NSB,有,即⑥由⑤，⑥可得=，即MN=x=;称MN为“面积线”归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知，显然有：MN≥EF≥GH
6、≥PQ即：当且仅当a=b时，取“=”成立。此时的梯形就成为一个平行四边形。三、构建函数单调性表示法例如：函数f(x)=，可以证明该函在实数R上是增加的；于是就有：f(1)=，f(0)=，f(-)=，f(-1)=f(1)≥f(0)≥f(-)≥f(-1)即，≥≥≥当且仅当a=b时，取“=”成立。其实，不等式的证明方法有很多，譬如：代数证法（比较法，综合法，分析法）众所周知，就不必说明了；《北师版·必修5》课本上的几何证法还有好多，阅读资料中，谈到2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代
7、数学家赵爽的弦图设计的，会标图案中就蕴含着≥≥≥≥的存在，值得参考与借鉴。实在是太完美了，真是令人叫绝；在此我断定此不等式的表示方法仅次于勾股定理的证明方法；这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡，如何构造几何图形、如何构造函数，都有待于同仁们继续研究，发现其它的一些表示方法，挑战这样的工作可以启发人的思维能力，有着非常重要的意义。新课程高中数学课堂教学中的案例（二）----------对诱导公式中“α-π”的理解与应用石河子第一中学朱友忠案例：“α-π”的理解《北师版·必修4》P16§4·3【三角函数《诱导公
8、式》的新授课】诱导公式这节内容中出现了角“α-π”的诱导公式，那么怎样理解这个角“α-π”呢？刚开始我接触角“α-π”总有些别扭，是因为在旧教材中用习惯了形如角“”k∈Z的三角函数诱导公式，在前面的旧教材中出现过，也没有直接把它纳入公式的范筹中；在新教材中解题时，常碰到形如：sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα;cos(α-π)=cos[-(π-α)]=cos(π
