《1.7.1 定积分在几何中的应用》导学案3

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1、《1.7.1定积分在几何中的应用》导学案3问题导学一、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求法活动与探究1已知抛物线y＝4－x2．(1)求该抛物线与x轴所围成图形的面积；(2)求该抛物线与直线x＝0，x＝3，y＝0所围成图形的面积．迁移与应用1．阴影部分的面积是(　　)A．2B．－2C．D．2．曲线y＝cosx与坐标轴所围成的面积为________．(1)当f(x)在[a，b]上有正有负时，则平面图形面积S＝

2、f(x)

3、dx．(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积

4、等于定积分的相反数．所以在求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的．二、由两条曲线所围成的平面图形的面积的求法活动与探究2(1)求由曲线y＝2x－x2与曲线y＝2x2－4x围成图形的面积．(2)求由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．(3)求由曲线y＝x2与直线x＋y＝2围成的图形的面积．(4)求由曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积．迁移与应用1．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是____

5、______．2．试求由抛物线y＝x2＋1与直线y＝－x＋7以及x轴、y轴所围成图形的面积．(1)在求平面图形的面积时，如果平面图形的曲边部分由两条不同的曲线构成，则应分两段分别求面积之和相加，这时在相应的两段积分区间上分别用不同的被积函数．(2)求由两条曲线所围成的平面图形面积时，一定要画出图形，再求出两曲线的交点坐标，然后结合图形写出面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值即得面积．三、与曲边图形有关的综合问题活动与探究3如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部

6、分，求k的值．迁移与应用1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为__________．2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2．(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解决与曲边图形有关的综合问题，关键是要正确分析题意，先分清是求曲边图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定

7、积分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程，进行求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．被积函数　积分的上、下限2．(1)f(x)dx　－f(x)dx　

8、f(x)

9、dx　[－f(x)]dx＋f(x)dx　(2)[f(x)－g(x)]dx　f(x)dx＋

10、g(x)

11、dx　[f(x)－g(x)]dx预习交流　提示：(1)根据已知条件作出区域草图；(2)通过图形判断或联立方程组，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)根据图形写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基

12、本定理以及定积分性质计算积分，求出面积．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系．解：(1)如图(1)，由于抛物线y＝4－x2与x轴相交于(－2,0)和(2,0)点，故其与x轴围成图形的面积为S＝＝＝．(2)如图(2)，抛物线y＝4－x2与直线x＝0，x＝3，y＝0所围成的图形在x轴上方和下方各一部分，故其面积S＝(4－x2)dx＋

13、4－x2

14、dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝＋＝＋＝．迁移与应用　1．C　解析：＝＝．2

15、．3　解析：由于当0≤x≤时，cosx≥0，＜x≤时，cosx≤0，故图形的面积为＝＋＝sinx－sinx＝3．活动与探究2　思路分析：作出所求图形的草图，正确划分图形，写出被积函数，结合定积分求解．解：(1)由得x1＝0，x2＝2，由图可知，所求图形的面积为S＝(2x－x2)dx＋＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx＝－＝4．(2)由解得x1＝0，x2＝3．由图可知，所求图形的面积为S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx＝[x＋3－(x2－2x＋3)]dx＝(－x2＋3x)dx＝＝．(3)

16、如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组得或即两个交点为(1,1)，(－2,4)．则所求面积为S＝[(2－x)－x2]dx＝＝．(4)如图，由解得交点为(0,1)．所求面积为S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋－2．迁移与应用　1．　解析：两曲线方程联立得交点(1,1)，求得两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0．故所围成图形面积为S＝(2x－1)dx＋(－x＋2)dx＝．2．解：画出图形(如图)．解方程组得或(舍去)，即抛物线与直线相