2.2二次函数的图象二次函数的图象 教案1

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1、二次函数的图象一、内容提要　　（一）二次函数的解析式：　　1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0,a,b,c为常数　　2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0,a,h,k为常数，（h,k）为顶点坐标。　　3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0,a,x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。   注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。　　（二）二次函数的图象：抛物线　　（三）性质：　　1．对称轴，顶点坐标：　　2．开口方向：a>0,抛物线开口向上，并向上无限延伸。a<0,抛物线开口向下，并向下无限延伸。

2、　　3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大　　（Ⅱ）a<0时，　　当x时，y随x增大而增大　　当x>时，y随x增大而减小　　4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，　　（Ⅱ）a<0时，当x=时，　　5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）　　特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。　　6．抛物线与x轴的位置关系：　　（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。　　（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）　　（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、

3、典型例题：　　例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。　　解：由题意得　解得m=-1　　∴y=-3x2+3x+6=,　　开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。　　说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。　　例2．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c,Δ=b2-4ac的

4、符号，(2)求证:a-b+c>0,(3)当x取何值时，y>0,当x取何值时y<0。　　解：（1）由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，又由<0，∴>0,　　∴a、b同号，由a<0得b<0.　　由抛物线与x轴有两个不同的交点，　　∴Δ=b2-4ac>0　　（2）由抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x=-1.　　∴当x=-1时，y=a-b+c>0　　（3）由图象可知：当-30,　　∴当x<-3或x>1时，y<0　　例3．已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数，且满足-1

5、抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。　　解：∵-10,抛物线与y轴的交点在x轴上方。　　Δ=4m2-4(m-2)(m+1)=4m2-4(m2-m-2)=4m+8=4(m+1)+4>0.　　∴抛物线与x轴有两个不同的交点。　　说明：上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数y=(a≠0)除了解a的含义以外，还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标，即由c定点（0，c），c的正、负符号决定（或决定于）抛物线与y轴的交点在x轴上、下方，c的绝对值决定（或决

6、定于）图象与y轴交点到x轴的距离。由y=0，得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).它有无实根由判别式Δ=b2-4ac来决定：　　若>0，一元二次方程有两个实根x1,x2，抛物线与x轴有两交点坐标为:（，0）、(,0)　　若，一元二次方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点。　　若<0，一元二次方程无实根，抛物线与x轴无交点，　　所以抛物线与x轴的交点情况与Δ=b2-4ac的值相关。　　此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点（用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点）。　　例4．抛物线y=2x2-

7、4x+4的对称轴为x=2m-2n，函数的最小值是4n-3m,求实数m、n。解：∵y=2x2-4x+4，　　∴　　　∴解得说明：此例是利用顶点坐标公式构造方程组，也可利用配方法先求出抛物线的顶点坐标，再构造方程组。　　例5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象的形状相同，开口方向相反，与直线y=x-2的两个交点的坐标为（1，n）和(m,1)，求这个二次函数的解析式及其顶点坐标。　　分析：交点坐标既在抛物线上，又在直线上，所以既满足二次函数的解析式，又满足一次函数的解析式，由此可求出字母n、m。　　解：依题意，得　　∵y=x-2过(1,n)得n

8、=-1,　　y=x-2过(m,1)得m=3.　　∴抛物线过（1，-1），（3，1）　　∴解得　　∴　　∴这个