资源描述：
《刍议抽象函数教学中数学思想方法的渗透》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2007年《教学月刊》第7期刍议抽象函数教学中数学思想方法的渗透（江苏省东台中学邹施凯）摘要：本文结合苏教版高中数学第二章中“函数概念与基本初等函数Ⅰ”，论述以抽象函数的教学为载体，构造抽象函数的背景函数，树立解决问题的“建模思想”；分析抽象函数的特殊信息，训练解决问题的“辩证思维”；探求抽象函数的转化路径，确定解决问题的“化归思路”，以实施数学思想方法的自然渗透。关键词：数学思想方法抽象函数建模思想辩证思维化归思路所谓数学思想，是人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动，而数学方法则是解决数学问题相应的对策和手段。数学思想方法则是数学思想和数学方法两者有机的统一体。中
2、学数学教学它包括显性和隐性两方面知识的教学，教材中循序渐进的数学知识是显性的知识体系，而渗透在各个章节中的数学思想方法则是隐性的知识体系。众所周知，数学知识本身固然是重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生的学习、生活和工作长期起作用，并使学生终生受益的是数学思想方法。事实上，中学数学教学的最终目的就是形成学生的数学观念，培养学生用数学思想方法解决数学问题的能力，进而提升学生用数学的思想、数学的眼光认识和处理纷繁复杂问题的水平。数学史上，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。高中数学常见的数学思想方法有：建模思想方法、辩证思想方法、化归思想方法、函数与方程思
3、想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想、公理化思想方法、极限法思想方法等。本文结合苏教版高中数学第二章中“函数概念与基本初等函数Ⅰ”，以有关抽象函数的显性教学内容为载体，有目的地进行隐性的数学思想方法渗透：构造抽象函数的背景函数，树立解决问题的“建模思想”；分析抽象函数的特殊信息，训练解决问题的“辩证思维”；探求抽象函数的转化路径，确定解决问题的“化归思路”。一、构造抽象函数的背景函数，树立解决问题的“建模思想”。7所谓抽象函数就是未给出具体解析式的函数，由于其表达形式的抽象和性质的隐含不露，使得直接求解的思路常难以寻求，使同学们对抽象函数问题比较害怕。其实，大量的抽象函数都是以中学阶段
4、所学的基本函数为背景抽象而成的，我们称这类基本函数为背景函数，解题时若能根据题设条件，通过类比、联想，猜想出它可能为某种基本函数，然后从这一抽象函数的背景函数人手，依托“原型”就能奠定解决问题的基础。现就苏教版高中数学第二章中，所涉及的基本函数为背景，推理成如下四类抽象函数的模型。1．直线型模型(1)对任意的有,则其模型为：(2)对任意的有,则其模型为：2．指数函数型模型对任意的有,或对任意的且,有,则其模型为：3．对数函数型模型对任意的有，或，则其模型为：4．幂函数型模型对任意的有或对任意的，，则其模型为：对上述抽象函数的背景函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但却能构建解决问题的框架
5、,明确解决问题的切入点，并能一叶知秋，化难为易。二、分析抽象函数的特殊信息，训练解决问题的“辩证思维”。7在心理学中，思维发展可分为四个阶段，动作思维、形象思维、形式思维、辩证思维。而高中学生的思维正是辩证思维的形成阶段，所以对抽象函数的特殊信息就必须引导学生辩证地看待，不仅要在“抽象”中看到“具体”，在“一般”中看到“特殊”，还要在“繁难”中看到“浅显”，更要在“杂乱”中看到“规律”。就教材中所涉及的四类背景函数，既要关注它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、图像、变换等问题，更需关注这类函数特殊点的值、特殊区间的范围。分析这些特殊信息，我们就可以用赋值法、比较法辩证地获取解决问题的钥匙
6、。例1已知函数,对任意实数都有，且当时,,且,试求：(1)判定函数的奇偶性、增减性；（2）求函数在区间上的值域。分析：由题设条件的特殊性，可联想是的抽象函数,辩证地分析应用条件就可求解。解：（1）先证奇函数，由于定义在R上的奇函数都有一个重要特征:，所以令,有,再令,则有,所以为奇函数；再证单调递增,设，则,又当时,,则,由=,有,故为单调增函数。（2）因为，，所以=，则有，，，故函数在区间上的值域为。例2已知函数的定义域为R，当时,,且对任意的，有，,试证：（1）；（2）为单调减函数。分析：由题设条件的特殊性，可联想是的抽象函数(),经过特殊点(0,1),且,单调递减。解:（1）令代入
7、,有,因为7,所以;（2）由，有，则当时，，所以。设，==，又，所以，故为单调减函数。例3已知函数的定义域是（0，+），且单调递增,满足，。（1）求证：；（2）求；（3）如求；（4）判断并证明有什么样的关系。分析:由题设条件的特殊性，可联想定义在（0，+）的单调增函数的抽象函数,且经过特殊点。解:(1)令,代入,有；（2）；（3）令，代入，有，则；（4）==…=。例4已知函数的定义域为R，都有且，，当时，。（1）判断的奇偶性；（2）
