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1、随机变量的数学期望(均值),它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.但是在很多场合,仅仅知道平均值是不够的.§2随机变量的方差例如,某零件的真实长度为a,现在用甲、乙两台仪器各测量10次,并将测量结果X用坐标上的点表示如图：问:哪台仪器的测量效果好一些？甲仪器测量结果乙仪器测量结果较好因为乙仪器的测量结果更集中在均值附近.测量结果的均值都是a为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量在其中心(即均值)附近取值的离散程度(或集中程度).这个数字特征就是:方差.再如:考察某车床加工轴承的质量时,若最关键的指标为长度,则不但要注意轴承的平均长度,同时还要考虑
2、轴承长度与平均长度的偏离程度(即加工的精度);等等.我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢?X−E(X)?E[X−E(X)]?E[
3、X−E(X)
4、]?E{[X−E(X)]2}一、方差(variance)的定义随机变量X的平方偏差[X−E(X)]2的均值记作或Var(X),叫做X的方差.而记作叫做X的标准差或均方差.方差刻划了随机变量取值的离散程度:若X的取值比较集中,则方差较小；若X的取值比较分散,则方差较大.如:据以往记录,甲乙两射手命中环数X、Y的分布律为X678910P0.10.20.40.20.1Y678910P0.20.20.20.20.2及可以算出:两人命中环数的平均水
5、平相同,从中看不出两人射击技术的高低;但说明甲的命中环数比乙的更集中,即甲的射击技术比乙的稳定.二.方差的简化计算公式即:方差等于平方的期望减期望的平方.证明:例:设X的概率密度为且D(X)=1/18,求a,b及E(X).而解:由归一性得故解得b=0,a=2,E(X)=2/3或b=2,a=−2,E(X)=1/3.例:设(X,Y)的概率密度为试求D(X),D(Y).解:xy01y=x三.常见分布的期望与方差(3)则(2)则(1)则(4)则(5)则四.方差的性质(1)对任意常数k与c有:D(kX+c)=k2D(X).(2)设X与Y相互独立,则进一步,若X1,…,Xn相互独立,则对任意
6、常数c1,…,cn有:D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X−Y)=D(X)+D(Y).D(c1X1+…+cnXn)=c12D(X1)+…+cn2D(Xn).(3)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即P{X=C}=1.例:则解:X表示n重伯努利试验中“成功”的次数,p为每次试验成功的概率,则X~B(n,p);引入1,若第i次试验成功,0,若第i次试验失败.i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立,且而Xi的分布律为Xi01Pqp故E(Xi)=p,E(Xi2)=p,D(Xi)=E(Xi2)−[E(Xi)]2=pq,从而例:有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正
7、态分布,若且它们相互独立,则解:五.随机变量的标准化设X具有为X的标准化随机变量.E(Y)=0,D(Y)=1.则叫六.切比雪夫(Chebyshev)不等式对X,若E(X),D(X)都存在,则对或(1)方差确实能衡量随机变量取值的离散程度.(2)该不等式能在X的分布未知的情况下对的概率的下限作一估计,若记则等等.一、协方差随机变量X和Y的协方差前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中,最重要的就是协方差和相关系数.§3协方差(Covariance)和相关系数1.定义:(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=a
8、bCov(X,Y),a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)2.简单性质:3.协方差的简化计算公式:Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)可见，若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0.4.随机变量和的方差与协方差的关系D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)二、相关系数1.定义:设D(X)>0,D(Y)>0,称为随机变量X和Y的相关系数.注:相关系数也叫标准协方差,其实是标准化随机变量的协方差.与2.相关系数的性质:存在常数a,b使即X和Y以概率1线性相关.可见相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.的值越接近于1,Y
9、与X的线性相关程度越高;的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱;则Y与X有严格线性关系;若若则Y与X无线性关系,叫做X与Y不相关.注意:若X与Y独立,则Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0,但由X与Y不相关,不一定能推出X与Y独立.而对下述情形,独立与不相关等价:若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y独立X与Y不相关.从而X与Y不相关;例:设X在(−1/2,1/2)内服从均匀分布,而Y=cosX,试考察X与Y的相关性及独立性?解:而Y与X有严格的函数关系,因此Co
