苏教版高一数学函数与方程1

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1、第29课时函数与方程教学目标：使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程：Ⅰ.复习引入初中二次函数的图象及有关的问题Ⅱ.讲授新课问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（

2、a＞0）有两个不等实根x1、x2；（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根． 的一元二次方程ax［例1］已知集合A＝{x

3、x2－5x＋4≤0}与B＝{x

4、x2－2ax＋a＋2≤0，aR}，若A∪B＝A，求a的取值范围．解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．∵A＝［1，4］，A∪B＝A

5、，∴BA．2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，若B＝，即x∴－1＜a＜2；2－4（a＋2）≥0，∴a≥2或a≤－1． 若B≠，解法一：△＝4a2－2ax＋a＋2＝0的两根为x1 ∵方程x，2＝a±a ―a―2．2则B＝{x

6、a－a2―a―2≤x≤a＋a2―a―2}，由题意知2 a－a 2―a―2≥1a＋a―a―2≤4解之得2≤a≤187187，综合可知a（－1，］．2－2ax＋a＋2，解法二：f（x）＝x2－4（a＋2）≥0 △＝4a如图知f（1）＝3－a≥0f（4）＝－7a＋18≥01≤≤4a解之得2≤a≤187187，综上可知a（－1，］

7、．2［例2］已知x的不等式4x－x＞ax的解区间是（0，2），求a的值．解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．2解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y1＝4x－x和y2＝ax的图象．如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y＝ax必过点（2，2），则a＝1．2＞a2x2．解法二：∵0＜x＜2，当a≥0时，则4x－x∴0＜x＜42，则1＋a42＝2，∴a＝1．1＋a当a＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，∴a＜0舍去．综上知a＝1．［例3］已知函数f（x）＝x2＋2bx十c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程f（x）＋1＝0有

8、实根，（1）证明：－3＜c≤－1且b≥0；（2）若m是方程f（x）＋1＝0的一个实根，判断f（m－4）的正负，并说明理由．解析：（1）由f（1）＝0，则有b＝－c＋12，又因为c＜b＜1，消去b解之得－3＜c＜－13；①2＋2bx＋c＋1＝0有实根，又方程f（x）＋1＝0有实根，即x故△＝4b2－4（c＋1）≥0，消去b解之得c≥3或c≤－1；②由①②可知，－3＜c≤－1且b≥0．（2）f（x）＝x2＋2bx＋c＝（x－c）（x－1），f（m）＝－1＜0，∴c＜m＜1，从而c－4＜m－4＜－3＜c，∴f（m－4）＝（m－4－c）（m－4－1）＞0，即f（m－4）的符号

9、为正．Ⅲ.课后作业1．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是（－∞，－12＋bx＋2＞0的解集是（－∞，－12）∪（13，＋∞），求ab的值解析：方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－2＋bx＋2＝0的两根为－12、13，则b1－＝－，a621＝－．a6∴a＝－12，b＝－2．∴ab＝24．2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．2．方程x解析：方法一：利用韦达定理，设方程x2－2ax＋4＝0的两根为x1、x2，((x－1)(x－1)＞0，20)，x1－＞a解之得2≤＜21x－1()＋10．52则 ．方法二：利用二次函数图象的特征，设f（x）＝x2－2a

10、x＋4，0，f0解之得2≤a＜()＞1，a1＞．52则 ．2－5x＋b＞0的解集为{x

11、－3＜x＜－2}，求不等式6x2－5x＋a＞0的解集． 3．已知不等式ax2－5x＋b＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得解析：由题意，方程axa＝－1，b＝－6，则所求不等式为6x2－5x－1＞0，解之得x＜－2－5x－1＞0，解之得x＜－16或x＞1．4．关于x的不等式组2x－x20－＞，22(2k5)5k0x＋＋＜＋的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解析：不等式组可化为x2x1＞或＜－(2x5)(x＋＋k)＜0，∵x＝－2，（如下图）∴（2x＋5