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时间:2019-05-17
《2019年高考数学复习不等式选讲第1节绝对值不等式学案理北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节 绝对值不等式[考纲传真] (教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:
2、a+b
3、≤
4、a
5、+
6、b
7、(a,b∈R),
8、a-b
9、≤
10、a-c
11、+
12、c-b
13、(a,b,c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
14、ax+b
15、≤c;
16、ax+b
17、≥c;
18、x-a
19、+
20、x-b
21、≥c.(对应学生用书第204页)[基础知识填充]1.含绝对值的不等式的性质定理1:如果a,b是实数,则
22、a+b
23、≤
24、a
25、+
26、b
27、,当且仅当ab≥0时,等号成立.定理2:如果a,b,c是实数,
28、那么
29、a-c
30、≤
31、a-b
32、+
33、b-c
34、,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式
35、x
36、37、x38、>a的解法:不等式a>0a=0a<039、x40、41、-a<x<a}∅∅42、x43、>a{x44、x>a或x<-a}{x∈R45、x≠0}R(2)46、ax+b47、≤c,48、ax+b49、≥c(c>0)型不等式的解法:①50、ax+b51、≤c⇔-c≤ax+b≤c;②52、ax+b53、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)54、x-a55、+56、x-b57、≥c,58、x-a59、+60、x-b61、≤c(c>0)型不等式的解法:62、①利用绝对值不等式的几何意义求解;②利用零点分段法求解;③构造函数,利用函数的图像求解.[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)63、x-a64、+65、x-b66、的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.( )(2)不等式67、a68、-69、b70、≤71、a+b72、等号成立的条件是ab≤0.( )(3)不等式73、a-b74、≤75、a76、+77、b78、等号成立的条件是ab≤0.( )(4)当ab≥0时,79、a+b80、=81、a82、+83、b84、成立.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√285、.不等式1<86、x+187、<3的解集为( )A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)∪(0,2)D [原不等式等价于188、x-189、-90、x-591、<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)A [①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,恒成立,∴x<1.②当1≤x≤5时,原不等式等价于x92、-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③知x<4.]4.若不等式93、kx-494、≤2的解集为{x95、1≤x≤3},则实数k=________.2 [∵96、kx-497、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x98、1≤x≤3},∴k=2.]5.(教材改编)若关于x的不等式99、a100、≥101、x+1102、+103、x-2104、存在实数解,则实数a的取值范围是________.(-∞,-3]∪[3,+∞) [由于105、x+1106、+107、x-2108、≥109、(x+1110、)-(x-2)111、=3,∴112、x+1113、+114、x-2115、的最小值为3,要使116、a117、≥118、x+1119、+120、x-2121、有解,只需122、a123、≥3,∴a≥3或a≤-3.](对应学生用书第204页)绝对值不等式的解法 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=124、x+1125、-126、2x-3127、.(1)在图1中画出y=f(x)的图像;(2)求不等式128、f(x)129、>1的解集.图1[解] (1)由题意得f(x)=故y=f(x)的图像如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图像可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(130、x)>1的解集为{x131、1<x<3},f(x)<-1的解集为.所以132、f(x)133、>1的解集为.[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论,用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式,零点分段法的操作程序是:找零点,分区间,分段讨论;(2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.[跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)=134、x-2135、.(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;(2)设g(x136、)=-137、x+7138、+3m,若关于x的不等式f(x)139、x-2140、>4-x2,即x-2>4-x2或x-24-x2,得x>2或x<-3;由x-22或x<-1.综上,原不等式的解集为{x141、x>2或x<-1}.(2)原不等式等价于142、x-2143、+144、x+7145、<3m的解集非空.令h(x
37、x
38、>a的解法:不等式a>0a=0a<0
39、x
40、41、-a<x<a}∅∅42、x43、>a{x44、x>a或x<-a}{x∈R45、x≠0}R(2)46、ax+b47、≤c,48、ax+b49、≥c(c>0)型不等式的解法:①50、ax+b51、≤c⇔-c≤ax+b≤c;②52、ax+b53、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)54、x-a55、+56、x-b57、≥c,58、x-a59、+60、x-b61、≤c(c>0)型不等式的解法:62、①利用绝对值不等式的几何意义求解;②利用零点分段法求解;③构造函数,利用函数的图像求解.[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)63、x-a64、+65、x-b66、的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.( )(2)不等式67、a68、-69、b70、≤71、a+b72、等号成立的条件是ab≤0.( )(3)不等式73、a-b74、≤75、a76、+77、b78、等号成立的条件是ab≤0.( )(4)当ab≥0时,79、a+b80、=81、a82、+83、b84、成立.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√285、.不等式1<86、x+187、<3的解集为( )A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)∪(0,2)D [原不等式等价于188、x-189、-90、x-591、<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)A [①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,恒成立,∴x<1.②当1≤x≤5时,原不等式等价于x92、-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③知x<4.]4.若不等式93、kx-494、≤2的解集为{x95、1≤x≤3},则实数k=________.2 [∵96、kx-497、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x98、1≤x≤3},∴k=2.]5.(教材改编)若关于x的不等式99、a100、≥101、x+1102、+103、x-2104、存在实数解,则实数a的取值范围是________.(-∞,-3]∪[3,+∞) [由于105、x+1106、+107、x-2108、≥109、(x+1110、)-(x-2)111、=3,∴112、x+1113、+114、x-2115、的最小值为3,要使116、a117、≥118、x+1119、+120、x-2121、有解,只需122、a123、≥3,∴a≥3或a≤-3.](对应学生用书第204页)绝对值不等式的解法 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=124、x+1125、-126、2x-3127、.(1)在图1中画出y=f(x)的图像;(2)求不等式128、f(x)129、>1的解集.图1[解] (1)由题意得f(x)=故y=f(x)的图像如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图像可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(130、x)>1的解集为{x131、1<x<3},f(x)<-1的解集为.所以132、f(x)133、>1的解集为.[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论,用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式,零点分段法的操作程序是:找零点,分区间,分段讨论;(2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.[跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)=134、x-2135、.(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;(2)设g(x136、)=-137、x+7138、+3m,若关于x的不等式f(x)139、x-2140、>4-x2,即x-2>4-x2或x-24-x2,得x>2或x<-3;由x-22或x<-1.综上,原不等式的解集为{x141、x>2或x<-1}.(2)原不等式等价于142、x-2143、+144、x+7145、<3m的解集非空.令h(x
41、-a<x<a}∅∅
42、x
43、>a{x
44、x>a或x<-a}{x∈R
45、x≠0}R(2)
46、ax+b
47、≤c,
48、ax+b
49、≥c(c>0)型不等式的解法:①
50、ax+b
51、≤c⇔-c≤ax+b≤c;②
52、ax+b
53、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)
54、x-a
55、+
56、x-b
57、≥c,
58、x-a
59、+
60、x-b
61、≤c(c>0)型不等式的解法:
62、①利用绝对值不等式的几何意义求解;②利用零点分段法求解;③构造函数,利用函数的图像求解.[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)
63、x-a
64、+
65、x-b
66、的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.( )(2)不等式
67、a
68、-
69、b
70、≤
71、a+b
72、等号成立的条件是ab≤0.( )(3)不等式
73、a-b
74、≤
75、a
76、+
77、b
78、等号成立的条件是ab≤0.( )(4)当ab≥0时,
79、a+b
80、=
81、a
82、+
83、b
84、成立.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2
85、.不等式1<
86、x+1
87、<3的解集为( )A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)∪(0,2)D [原不等式等价于188、x-189、-90、x-591、<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)A [①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,恒成立,∴x<1.②当1≤x≤5时,原不等式等价于x92、-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③知x<4.]4.若不等式93、kx-494、≤2的解集为{x95、1≤x≤3},则实数k=________.2 [∵96、kx-497、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x98、1≤x≤3},∴k=2.]5.(教材改编)若关于x的不等式99、a100、≥101、x+1102、+103、x-2104、存在实数解,则实数a的取值范围是________.(-∞,-3]∪[3,+∞) [由于105、x+1106、+107、x-2108、≥109、(x+1110、)-(x-2)111、=3,∴112、x+1113、+114、x-2115、的最小值为3,要使116、a117、≥118、x+1119、+120、x-2121、有解,只需122、a123、≥3,∴a≥3或a≤-3.](对应学生用书第204页)绝对值不等式的解法 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=124、x+1125、-126、2x-3127、.(1)在图1中画出y=f(x)的图像;(2)求不等式128、f(x)129、>1的解集.图1[解] (1)由题意得f(x)=故y=f(x)的图像如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图像可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(130、x)>1的解集为{x131、1<x<3},f(x)<-1的解集为.所以132、f(x)133、>1的解集为.[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论,用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式,零点分段法的操作程序是:找零点,分区间,分段讨论;(2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.[跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)=134、x-2135、.(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;(2)设g(x136、)=-137、x+7138、+3m,若关于x的不等式f(x)139、x-2140、>4-x2,即x-2>4-x2或x-24-x2,得x>2或x<-3;由x-22或x<-1.综上,原不等式的解集为{x141、x>2或x<-1}.(2)原不等式等价于142、x-2143、+144、x+7145、<3m的解集非空.令h(x
88、x-1
89、-
90、x-5
91、<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)A [①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,恒成立,∴x<1.②当1≤x≤5时,原不等式等价于x
92、-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③知x<4.]4.若不等式
93、kx-4
94、≤2的解集为{x
95、1≤x≤3},则实数k=________.2 [∵
96、kx-4
97、≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x
98、1≤x≤3},∴k=2.]5.(教材改编)若关于x的不等式
99、a
100、≥
101、x+1
102、+
103、x-2
104、存在实数解,则实数a的取值范围是________.(-∞,-3]∪[3,+∞) [由于
105、x+1
106、+
107、x-2
108、≥
109、(x+1
110、)-(x-2)
111、=3,∴
112、x+1
113、+
114、x-2
115、的最小值为3,要使
116、a
117、≥
118、x+1
119、+
120、x-2
121、有解,只需
122、a
123、≥3,∴a≥3或a≤-3.](对应学生用书第204页)绝对值不等式的解法 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=
124、x+1
125、-
126、2x-3
127、.(1)在图1中画出y=f(x)的图像;(2)求不等式
128、f(x)
129、>1的解集.图1[解] (1)由题意得f(x)=故y=f(x)的图像如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图像可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(
130、x)>1的解集为{x
131、1<x<3},f(x)<-1的解集为.所以
132、f(x)
133、>1的解集为.[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论,用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式,零点分段法的操作程序是:找零点,分区间,分段讨论;(2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.[跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)=
134、x-2
135、.(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;(2)设g(x
136、)=-
137、x+7
138、+3m,若关于x的不等式f(x)139、x-2140、>4-x2,即x-2>4-x2或x-24-x2,得x>2或x<-3;由x-22或x<-1.综上,原不等式的解集为{x141、x>2或x<-1}.(2)原不等式等价于142、x-2143、+144、x+7145、<3m的解集非空.令h(x
139、x-2
140、>4-x2,即x-2>4-x2或x-24-x2,得x>2或x<-3;由x-22或x<-1.综上,原不等式的解集为{x
141、x>2或x<-1}.(2)原不等式等价于
142、x-2
143、+
144、x+7
145、<3m的解集非空.令h(x
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