线性代数第五章相似矩阵与二次型第3节

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1、相似矩阵的定义相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化第三节相似矩阵称为对A进行相似变换设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。对A进行运算一、相似矩阵的概念定义（1）自反性A~A（其中k是正整数）（5）若A~B，（2）对称性若A~B，则B~A（3）传递性若A~B，B~C，则A~C相似是关于A的多项式二、相似矩阵的性质k个特别地，若有可逆矩阵P,使为对角矩阵，即则，而对于矩阵有利用上述结论可以很方便计算矩阵A的多项式若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而

2、有相同的特征值。证明:因A与B相似，所以有可逆矩阵P,使故定理推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似是A的n个特征值。又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.对一个n阶方阵A，是否存在相似变换问题：矩阵P,使三、相似变换矩阵的求法若存在，如何找出这个矩阵？讨论：把P用其列向量表示为也即反之,如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则P可逆，且满足那么令注意因为特征向量不唯一，所以上述矩阵P也是不唯一的。并且由上面的讨论即有：n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理如果n阶矩阵A的n个特征根互不相同,则A与

3、对角矩阵相似。推论如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．例判断下列实矩阵能否化为对角阵？解(1)得因为A有三个不同的特征值，所以由推论知A可对角化。解之得基础解系故不能化为对角矩阵.解(2)解(3)解之得基础解系求得基础解系例设判断A是否可以对角化，若可以对角化，为对角阵，并求求出可逆阵P，解（1）求特征值求特征向量将代入得解得特征向量再将代入得解得特征向量线性无关，故A可对角化(2)令则有（3）直接计算比较麻烦，但由可得易求问A能否对角化？若能对角解练习解之得

4、基础解系所以可对角化.即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．注意思考题1满足什么条件的矩阵一定可以对角化？