典型例题数列的通项公式求法

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1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）例1、 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解 ∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列∴an=1+2（n-1）即an=2n-1例2、已知满足，而，求=？（2）递推式为an+1=an+f（n）例3、已知中，，求.解：由已知可知令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a

2、n-an-1）★说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求.解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4∴an+1-an=4·3n-1∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1即an=2·3n-1-1解法二：上法

3、得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1(4)递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数）由上题的解法，得：∴(5)递推式为思路：设,可以变形为：，想于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求。(6)递推式为Sn与an的关系式关系；（2）试用n表示an。∴∴∴上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。∴2nan=2+（n-1）·2=2n