一元二次方程式的定义

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1、第21單元一元二次方程式班級：座號：姓名：P.8一、一元二次方程式的定義1.定義：一個方程式經過合併化簡之後，只含有一個未知數，且此未知數的最高次數為2次時，這個方程式就叫做一元二次方程式。例如：、、、、……註：含有未知數的等式就叫做方程式。2.一元二次方程式的標準式：，其中，叫做一元二次方程式的標準式。例1：下列哪些方程式是一元二次方程式？（1）（2）（3）（4）（5）（6）答：。例2：一直角三角形，其兩股與斜邊各為、、，試列出的一元二次方程式。3.一元二次方程式的解：（1）求出一元二次方程式未知數所代表的數的

2、過程，就叫做解一元二次方程式。（2）將一個數代入原一元二次方程式中的未知數，使得等號兩邊的結果皆相等，這個數就叫做一元二次方程式的解或根。※1.一元二次方程有解時，必定是兩個根。2.求出解之後，一定要驗算。例：、-2、、哪些是的解。4.解一元二次方程式的原理：若，則或。※解方程式的方法：（1）先利用移項化簡將方程式表示成標準式，（2）再利用方法分解成兩個一次項因式的乘積。（3）在令兩個一次項因式各等於0，再求解。例1：解解：或或例2：解解：或或例3：解解：，或或（重根）（亦可寫成）※針對任何一元二次方程式求解的方

3、法，有以下幾種。5.利用因式分解法解一元二次方程式：（1）直接提出公因式：勿直接兩邊同除一個因式，否則必減根※何謂等量除法：在一個等式中，兩邊同除以一個不為0的數。例1：解解：，或，3例2：解解：，或，例3：解解：，或，（2）利用乘法公式：例1：解解：同除以3：平方差：，，例2：解解：，例3：解解：，（重根）例4：解解：同乘以4：，（重根）例5：解解：，，，，例6：解解：，無解（3）利用十字交乘法：例1：解解：，例2：解解：第21單元一元二次方程式班級：座號：姓名：P.8，例3：解解：同乘以：，※6.根與係數的關

4、係：（1）若、分別為的兩根，則：；。（2）以、為兩根的一元二次方程式為或。例：若-7、1為的兩根，求、之值。練習題：1.求下列各方程式的解：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9），（10），（11），（12），（13），（14），（15），（16），（17），（18），（19），（20），（21），（22），（23），（24），（25），2.若0為一元二次方程式之ㄧ根，則另ㄧ根為何？3.若為方程式之ㄧ根，為方程式之ㄧ根，試求：之值。4.若2是的方程式=0之ㄧ根，求？5.已知是方程式

5、之ㄧ根，求：（1）？（2）此方程式的另ㄧ根。6.若2、為方程式的兩根，試求？7.設，，求之值。8.、為二次方程式，（1）若時，則之值為何？（2）若時，且，則？？9.甲、乙兩生同解一個項係數為1的二次方程式，甲將項的係數看錯，解得兩根為3、-6；乙將常數項看錯，解得兩根為3、4，若此外無其他的錯誤，求：（1）正確的方程式；（2）正確的兩根。10.若的兩根為、，則？第21單元一元二次方程式班級：座號：姓名：P.8配方法1.平方根：若，且，則。叫做的平方根。註：正數的平方根有兩個，且互為相反數。0的平方根只有一個，就是

6、0。負數沒有平方根。2.若方程式為，則：（1）時，的解為。（2）時，的解為。（3）時，為無解。例：求下列各方程式的解。（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.形如（）的方程式，則，故其解為。例：求下列各方程式的解。（1）（2）（3）（4）4.完全平方式：可以寫成的二次三項式，叫做完全平方式。例如：，，所以與都是完全平方式。5.配方法：把一個一元二次式加上適當的常數之後，可以化成完全平方式的方法叫做配方法。※再加上，可以配成完全平方式。口訣：欲將在加一個常數配成完全平方式時，要加上一次項係數一半的平方（即加上）。例

7、1：將下列各一元二次式配成完全平方式和一個常數的差。（1）（2）（3）（4）（5）（6）※若為完全平方式時，則。解說：，故例1：欲將配成完全平方式，則需再加上常數為。例2.若，則。6.利用配方法解一元二次方程式：解一元二次方程式，（）的步驟如下：步驟一：將常數項移到等號右邊，得步驟二：將項係數化為1，得步驟三：兩邊同加項係數一半的平方，得第21單元一元二次方程式班級：座號：姓名：P.8步驟四：寫成完全平方式，得步驟五：兩邊開方取正負號，得步驟六：移項化簡，得例：解下列各一元二次方程式：（1）（2）（3）（4）（5

8、）（6）（7）（8）（9）（10）加強題：1.利用配方法解，得，則？2.若可推得，則？3.若，則？4.試求以為兩根的一元二次方程式。。5.若為之ㄧ根，則？6.若為方程式的一根，則？1.（1）想要使成為完全平方式，則應加上常數為。（2）想要使成為完全平方式，則應加上常數為。（3）若為完全平方式，則？（4）若再加上一數後，可以變成完全平方式，則？2.設為一元二次方程式的一根，