2016高考数学总复习课时作业堂堂清立体几何9-6

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1、第六节　空间距离考纲要求1.掌握两条直线的距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．2.掌握直线和平面的距离的概念．3.掌握两个平行平面间的距离的概念．考试热点1.以客观题考查两条异面直线的距离，直线和平面的距离或两个平行平面间的距离．2.以几何体为载体考查点到平面的距离，一般是解答题中的一问.1．点到直线的距离一般要利用三垂线定理找到垂线段，通过解直角三角形求出垂线段之长，或转化为向量的模长问题．2．点到平面距离的求解方法一般有三种：①直接法：从该点向平面引垂线，该点与垂足间的距离即为所求．用此法解题

2、的关键是确定垂足的位置，而确定垂足位置的主要依据是两个平面垂直的性质定理．②把点到平面的距离转化为以该点为顶点，平面内的一个三角形为底面的三棱锥的高，再通过变换三棱锥顶点用等体积法求出点到平面的距离．③向量法：设PA是平面α的斜线(A为斜足，P为平面α外一点)，向量n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离．注：关于平面α的法向量的求法：设a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)为平面α内不共线的两向量，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，由可得n＝(a3，b3，c3)，其中a3，b3，c3是已知实数．3．求直线到平面

3、的距离，通常转化为直线上一特殊点到平面的距离，其解法同点面距离的解法．4．两个平行平面的距离：求解时，在一个面内任取一点，作它到另一平面的垂线段，垂线段的长就是所求，实质上也是点到平面的距离，因此，点面距离的求解方法，对求解面到面的距离仍然适用．5．两条异面直线间的距离：要特别注意定义中的“都垂直且相交”的理解，两条异面直线距离是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条，求解方法主要有：①定义法：找出两条异面直线的公垂线段，求出其长度．②向量法：设向量n是异面直线l1，l2公垂线上的方向向量，A∈l1，B∈l2，则两条异面

4、直线的距离1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()答案：B2．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有()A．3个B．4个C．6个D．7个解析：当三点在平面α一侧，一点在另一侧时，有4种情况．当两点在平面α一侧，另两点在平面α另一侧时，有3种情况．∴这样的平面α共有7个，选D.答案：D3．ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为()解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求．

5、易证CE＝1.故选D.答案：D4．平面α内有Rt△ABC，∠C＝90°，P是平面α外一点，且PA＝PB＝PC，P到α的距离是40cm，AC＝18cm，则点P到BC边的距离是________．解析：作PO⊥平面ABC，垂足为O，如图1，∵PA＝PB＝PC，AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心．又∵∠ACB＝90°，∴O是AB边的中点．作OD⊥BC，由三垂线定理知PD⊥BC.答案：41cm5．如图2，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OH⊥O1B，垂足为H.(1)求

6、证：MO∥平面BB1C1C；(2)分别求MO与OH的长；(3)MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线？为什么？求这两条异面直线间的距离．解：(1)证明：连结B1C，∵MO是△AB1C的中位线，∴MO∥B1C.∵B1C⊂平面BB1C1C，∴MO∥平面BB1C1C.(3)MO不是A1B与AC的公垂线，MO∥B1C，△AB1C为正三角形，∴MO与AC成60°角．∵AC⊥BD，AC⊥OO1，∴AC⊥面BOO1.∵OH⊂面BOO1，∴OH⊥AC，OH⊥A1C1.∵OH⊥O1B，A1C1∩O1B＝O1，∴OH⊥面BA1C1，OH⊥A

7、1B.∴OH是异面直线A1B与AC的公垂线，其长度即为这两条异面直线的距离．由(2)可知，距离为点到平面的距离问题[例1]如图3所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．求：(2)P点到平面EFB的距离；[解]建立空间直角坐标系，使得D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、M(0,0，a)、E(a,0，a)、F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P(2)设n＝(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，即

8、n

9、＝1，n⊥平面EFB，如图4，在四棱

10、锥P－ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，PA⊥面ABCD，且PA＝1，E为BC的中点．(1)求二面角P－DE－A的大小；(2)求点B到平面PDE的距离．解：(1)∵E为中点，∴BE＝1又AB＝2，∠ABE＝60°，∴△ABE为Rt△，∴∠AEB＝90°