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1、扬中市第二高级中学2011届高三数学教学案第23课基本不等式【复习目标】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．【重点难点】了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．【自主学习】一、知识梳理1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b，我们把 称为a,b的算术平均数， 称为a,b的几何平均数。2.基本不等式及其变形：（1）基本不等式：若a,b是正数，则。（当且仅当a=b时取“＝”号）（2）常见变形：①a2+b2≥2ab(a,b∈R)②a2+b
2、2≥2
3、ab
4、(a,b∈R)③④⑤.上述不等式等号成立的条件都是a=b.3.极值定理的条件：应用基本不等式求最大（小）值时，需要注意“一正二定三相等”。二、课前预习：1.设x,y,z为正实数，满足x－2y+3z=0，则的最小值为 2.若00,则的最大值为 4.设的最小值是 5.a,b是正数，则三个数的大小顺序是 6.当x>1时，函数f(x)=的最小值是 扬中市第二高级中学2011届高三数学教学案【共同探究】例1.已知a>0
5、,b>0,a+b=1,求证：（1） （2）例2.已知x>0,y>0且x+2y=1.(1)求xy的最大值，及此时的x,y的值。（2）求的最小值。【变式训练1】已知两个正数x,y满足x+y=4，则使不等式恒成立的实数m的取值范围是 【变式训练2】已知x>y>0且xy=1,求的最小值及此时x,y的值。例3.已知正数a,b满足a+b=2,扬中市第二高级中学2011届高三数学教学案(1)求ab的取值范围。(2)求4ab+的最小值。(3)求的最小值。例4.（１）若x,y为两个正实数，且2x+8y－xy=0,求
6、x+y的最小值。（2）已知x>0,y>0,且，求x+y的最小值。例5．已知关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，（1）若x∈R,求实数a的取值范围。 （2）若x≥1,求实数a的取值范围。【巩固练习】扬中市第二高级中学2011届高三数学教学案1.f(x)=x+的图象过点A（3，7），则此函数的最小值是 2.已知lgx+lgy=1,则的最小值是 3.已知实数a,b,c都属于区间（0，1），且a,b,c互不相等，若m=,n=,p=,则m,n,p的大小关系为 4.下列各式：（1）a2+
7、1>2a;(2)
8、x+;(3);(4),其中正确的个数为 5.已知不等式(x+y)(对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 6.建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.7.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成。（1）现有可围成36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？（2）若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，
9、可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？
