极限与函数的连续性

《极限与函数的连续性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章极限与函数的连续性§1极限问题的提出§2数列的极限1．用定义证明下列数列的极限为零：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10).2．用定义证明：(1)；(2)；(3)，其中(4)，其中3．用定义证明：(1)若，则对任一正整数，有；(2)若，则.反之是否成立？(3)若，且，则存在，当时，有；(4)若，且，则.4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“”是逻辑符号，表示“存在”.）(1)，，当时,有；(2)，，当时,有；(2)，，当时,有（为常数）.5．若收敛，能否断定、也收敛？6．设，且，求证：，.7．利用极限

2、的四则运算法则求极限：(1)；(2)；(3)；(4).8．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)，；(9)；(10)；(11)；(12).9．证明：若，中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则是发散数列；又问和是否也是发散数列？为什么？10．设，证明发散.11．若为个正数，证明：.12．设，证明：(1)；(2)若，则.13．利用单调有界原理，证明存在，并求出它：(1)；(2)；(3)；(4).14．若证明：.15．证明：若，且，.16．设，证明：(1)；（又问，它的逆命题成立否？）(2)若，则.17．应用上题的结果证明下

3、列各题：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)若，则.18．用定义证明下列数列为无穷大量：(1)；(2)；(3)；(4).19．证明：若为无穷大量，为有界变量，则为无穷大量.20．(1)两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？(2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形；(3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形.21．利用，求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4).§3函数的极限1．用极限定义证明下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10).2．用极限的四则运算法则求下列极

4、限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)（为正整数）；(8).3．设，证明：若，则，其中正整数.4．证明：若，则，但反之不真.5．求下列函数字所示点的左右极限：(1)在；(2)在；(3)在；(4)在，是正整数；(5)在.6．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).7．用变量替换求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4).8．设在上单调上升，，若，求证：（可以为无穷）.9．设在集合上定义，则在上无界的充要条件是：存在，使.10．利用重要极限求极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；

5、(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)；(21)；(22)；(23)；(24).11．证明不存在.12．证明不存在，其中13．求极限.14．用定义证明：(1)若，，则；(2)若，，则.15．若，，证明：.16．证明的充要条件是：对任何数列，有.17．证明的充要条件是：对任何数列，有.18．设函数在上满足方程，且，证明：.§4函数的连续性1．用定义证明下列函数在定义域内连续：(1)；(2)；(3)；(4).2．指出下列函数的间断点并说明其类型：(1)；(2)；(3)；(4

6、)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)(10)(11)(12)3．当时下列函数无定义，试定义的值，使在连续：(1)；(2)；(3)；(4).4．设是连续函数，证明对任何，函数是连续的.5．若在点连续，那么和是否也在点连续？反之如何？6．若函数字点连续，而在点不连续，问此二函数的和、积在点是否连续？又若和在点都不连续，问此二函数的和、积在点是否必不连续？7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0.8．若在连续，恒正，按定义证明在连续.9．若和都在连续，试证明和都在连续.10．证明：设为区间上单调函数，若为的间断点，则必是的第一类间断点.11

7、．若在,，则在中必有，使得.12．研究复合函数和的连续性.设(1)；(2).13．证明：若在连续，且不存在，使，则在恒正或恒负.14．设为上的递增函数，值域为，证明在上连续.15．设在上连续，且，若，.求证：(1)存在；(2)设，则；(3)如果将条件改为，则.16．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4).17．证明方程有且只有一个实根.§5无穷小量与无穷大量的比较1．当时，以为标准求下列无穷小量的阶：(1)；(2)；(3)；(4);(5)；(6)；(7);(8).2．当时，以为标准求下列无穷大量的阶：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).3

8、．当时，下列等式成立吗？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).4．试证