函数极限与连续性

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1、数列极限和函数极限极限的一般形式limf(n)或limf(x)，其中a可以是无穷大。n→∞x→a极限定义为当自变量和极限点的距离越来越近时（自变量无限接近于极限点时），函数值也和极限值的距离越来越近（函数值无限接近于极限值）。其中最关键的是度量“自变量无限接近于极限点”以及“函数值无限接近于极限值”两个论断，这些都是用两个数之间的距离或者是变数（自变量和函数值都可以理解为变数）与定数（指极限点和极限值）之间的距离来衡量。（1）变数趋近于有限数，衡量方法为

2、x−a

3、<δ，以及

4、f(x)−L

5、<ε。（2）变数趋近于无限数，衡量方法为

6、x

7、>M或者

8、f(x

9、)>X。数列极限limf(

10、n)=L：n→∞涉及到两个距离，n和∞之间的距离以及f(n)和L之间的距离，用上面的两个距离衡量方法就可以得到下面的定义。但是要注意的是这两个距离的控制量应当是有关系的，一般说是要由函数值和极限值之间的距离控制来决定自变量和极限点之间的距离控制。数列极限的定义为：对任意的ε>0，存在N，当n>N时，

11、f(n)−L

12、<ε。注意的几点：（1）ε是预先给定的一个充分小的正数；（2）使用定理证明的关键是能够给出用ε表示的N的表达式，一般N是ε的函数；（3）ε应当足够的小，而N应当足够的大；（4）求解N都是通过考察

13、f(n)−L

14、<ε，求出使得该不等式成立的n。几个常用的数列极限结论：1

15、nn（1）lim=0；（2）lima=

16、,0a

17、<1；（3）lima=,1a>0；n→∞nn→∞n→∞1n11（4）lim1(+)=e；（5）=∞,=0。n→∞n0∞求解数列极限的几种方法：（1）使用上述几种极限结论。11+n+1nn20+0例：lim=lim==02n→∞n+1n→∞11+01+2n一般地，1⎧0pq2nnn()+12+330+11例：lim=lim==。出现指数的极限中应当充分使用规则n+1n→∞1+3n→∞1n0+33()+33nlima=

18、,

19、0a

20、<1。n→∞2n例：lim1(−)2n→∞n∞2这种类型的极限具有下面几个特点：（1）从总体上看，极限属于1类型，1−→1，同2n1n时n→∞；（2）充分使用规则lim1(+)=e，注意该规则的特点：（1）一个“+”，n→∞n即中间必须是加号；（2）两个1，即加号前是1，分子上是1，不是1时必须将上面地所有项除到分母上；（3）两个n，这并不是说两个地方必须是n，而是说两个地方的式子必须一样。2n22n1−−0lim1(−)=lim[(1+)2]n=e=1。22n→∞nn→∞n−21规则5是指如果limf(n)=0，那么lim=∞；反过来，如果limf(n)=∞，那n→∞n

21、→∞f(n)n→∞1么lim=0。在判断极限的具体形式时，通常需要使用这个规则得到一些有用的结论。n→∞f(n)n1nn例：lime。因为lim()=0，所以lime=∞。n→∞n→∞en→∞（2）使用分子有理化和分母有理化。出现分子或分母形式时可以考虑采用分子有理化和分母有理化。例：221n+n+nn+n+nlim=lim=limn→∞n2+n−nn→∞(n2+n+n)(n2+n−n)n→∞n1=lim(1++)1=2n→∞n（3）使用无穷小量乘有界量仍为无穷小量。如果f(n)→0，同时g(n)有界，那么f(n)g(n)→0。2sinn1sinn例：lim。因为lim=0，而

22、

23、sinn

24、≤1有界，所以lim=1。n→∞nn→∞nn→∞n常见的有界量有sinx,arcsinx,arctanx。（4）两边夹准则。使用下面的规则：如果三个数列f(n),g(n),h(n)满足下面两个条件：（1）f(n)≤g(n)≤h(n)，（2）limf(n)=limh(n)=L(或∞)，那么limg(n)=L(∞)。n→∞n→∞n→∞111例：lim(++?+)n→∞222n+1n+2n+n111注意到对任意的k，≤≤，因此222n+nn+kn+1n111n≤++?+≤22222n+nn+1n+2n+nn+1n1n1而lim=lim=,1lim=lim=1，按照两边夹准

25、则，n→∞2n→∞1n→∞2n→∞1n+1n+n1+1+2nn111lim(++?+)=1。n→∞222n+1n+2n+n（5）使用单调有界必有极限准则。这部分先跳过。函数极限limf(x)x→a定义方式与前面提到的距离直接相关，比如limf(x)=L的定义为，对任意的ε>0，x→a存在δ>0，当0<

26、x−a

27、<δ时，

28、f(x)−L

29、<ε。limf(x)=∞的定义为，对任意的M>0，存在δ>0，当0<

30、x−a

31、<δ时，x→a

32、f(x

33、)>M。其他类型的极限可以按照同样的规则写出。求解极限的方