第2章 第8节 函数与方程

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1、2009~2013年高考真题备选题库第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程考点函数零点与方程的根1．(2013安徽，5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1

2、＝0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x1，x2)上是单调递减的，又f(x1)＝x1

3、点个数为(　　)A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：本题主要考查对数函数、二次函数的图像与方程根的个数，意在考查考生对初等函数的了解及数形结合能力．结合对数函数f(x)＝lnx与二次函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2可得函数图像有两个交点．答案：C3．(2013天津，5分)函数f(x)＝2x

4、log0.5x

5、－1的零点个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x

6、log0.5x

7、－1的零点个数即为函数y＝

8、log0.5x

9、与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函

10、数y＝

11、log0.5x

12、与y＝的图象，易知有2个交点．答案：B4．(2013湖南，5分)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)A．3B．2C．1D．0解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案：B5．(2013重庆，5分)若a

13、0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：A6．（2012北京，5分）函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：因为y＝x在x∈[0，＋∞

14、)上单调递增，y＝()x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－()x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－()x在定义域内有唯一零点．答案：B7．（2012湖南，5分）设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，00.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为(　　)A．2B．4C．5D．8解析：依题意，当x∈[0，π]时，0

15、x∈[－π，0]时，00得，f′(x)<0，f(x)是减函数，而y＝sinx是增函数，由图象知，y＝f(x)与y＝sinx有1个交点，即函数y＝f(x)－sinx有1个零点；当x∈(，π)时，由(x－)f′(x)>0得，f′(x)>0，f(x)是增函数，而y＝sinx是减函

16、数，由图象知，y＝f(x)与y＝sinx有一个交点，即函数y＝f(x)－sinx有1个零点．故函数y＝f(x