第3章--方程与函数.ppt

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1、第三章第三章方程与函数一、方程的概念§3.1方程与方程组的概念及分类定义1等式称为方程。其中f与g都是自变数的函数。称为这个方程的定义域。称为方程的未知数。有n个自变数的方程称为n元方程。若能使则称为方程f=g的一个解，解的全体所组成的集合S称为这个方程的解集。定义2显然当称f=g为恒等方程，记为当称f=g为矛盾方程。定义3一元方程f(x)=g(x)的解还称为一元方程的根。二、方程的分类（按解析式分类）三、方程组的概念定义4将含有n个未知数的联立起来，叫做方程组。个方程方程组中的k个方程的定义域的交集M叫做该

2、方程组的定义域。若且同时是上述k个方程的解，则称为方程组的一个解。集合叫做方程组的解集。方程组所有解的求方程组解集的过程叫做解方程组。注：一元整式方程有重根概念。§3.2方程与方程组的同解性解方程的过程实质是方程的同解变形过程（以一元方程进行讨论）定义5若方程f1=g1的任何一个解都是方程f2=g2的解，且方程f2=g2的任何一个解都是方程f1=g1的解，则称这两个方程同解。注：①上述两个方程的定义域必须相同。即方程的同解与定义域有关。②如果上述两个方程是整式方程，则重根次数相同。③两个矛盾方程认为是同解方程

3、。一、方程与方程组的同解概念定义6若方程f1=g1的任何一个解都是方程f2=g2的解，那么方程f2=g2是方程f1=g1的结果（或导出方程）。显然互为结果的两个方程同解。二、方程（组）同解定理定理1如果方程f1=g1与方程f2=g2的定义域相同，且则这两个方程同解。定理2且对任意的xM,则同解。定理3同解。则推论：令则同解。定理4方程的解集S等于各解集的并集。在解方程的过程中，除了利用同解变形，还常常采用导出变形，常用的有（1）方程是方程的导出方程。（2）若不恒等于0，则是的导出方程。（3）方程是的导出方程

4、。（4）是的导出方程。经过上述变形，作为原方程的导出方程往往与原方程不同解，可能会产生一些增根，因此在解方程时尽量采用同解方程，若不可能进行同解变形，采用导出变形，这时必须进行验根。解方程过程中产生增根与失根的原因（1）定义域的变更导致增根与失根例由得例解方程解：设则原方程变为解得由于即将原方程变为新的代数方程时，定义域缩小（限制而正是原方程的解。（2）同解定理应用不当，导致增根与失根例得失去了原因§3.3整式方程一、一元n次方程的根的有关性质1、韦达定理定理1（韦达定理）若是一元n次方程的根，则韦达定理的逆

5、：如果满足上式，则必定是一元n次方程的n个根。例1已知方程的三个根分别是求作一个以为根的新方程。例2设a，b，c都是实数，k为给定的正常数，且（1）试求的最小值；（2）试求的最小值。2、实系数一元n次方程根的性质定义1若方程的系数都是实数，中的各项称这样的方程为实系数一元n次方程.定理2实系数一元n次方程的虚根成对出现，即是它的k重根，则也是它的k重根。解一元n次方程，除了按照公式求解和降次这一基本方法外，求解的形式。有时还采用将方程作适当的变换，使它变为便于常用的变换方法有以下几种：1、差根变换方程定理3的

6、各个根分别等于方程的各个根减去k。例3求一个方程，使它的各根分别等于已知方程的各根减去2。对于若要化成不含有n-1次项的多项式，只要将代入f(x)中的x即可。例4将已知方程变为三次项系数为0的方程，并使所求方程的各根与已知方程各根相差一个常数。2、倍根变换方程定理4的各个根分别等于方程的各个根的k倍。推论1n次方程的各个根分别是方程的各个根的k倍。推论2把n次方程的各个根变号，对应的方程是例5求一个方程，使它的各个根分别是已知方程的各根的2倍。例6已知方程的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相反，解这个方程

7、。3、倒根变换定理5如果方程没有等于零的根，那么方程的各个根分别是方程的各个根的倒数。推论3如果n次方程的各个根分别是n次方程的各个根的倒数，那么例6已知方程的三个根的倒数成等差数列，解这个方程。例7已知方程的三个根为求作一个三次方程，使它的根是二、一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式为把它的各个根减去就可化为不含二次项的方程其中研究一元三次方程的解法，只需研究(1)这种形式的方程。设于是即对照(1)有即由韦达定理的逆定理，知是方程的两个根。解这个方程，得即且满足设是的任意一个解，则它的另外两个解为由(4

8、)可得与相应的v的三个解是因此的三个解的公式是由的符号可看出三次方程的根的性质：1）若则都为实数，且这时方程(1)有一个实根，两个共轭虚根。则且都为实数，2）若这时方程(1)有三个实根，并且其中两个根相等。则为共轭虚根，3）若这时方程(1)有三个不同实根。总之原方程的解为例8解三次方程三、倒数方程的解法定义4在一元整式方程f(x)=0中，如果与首末两端等距离的项的系数相等或互为相反数，那么这种形式的