小升初奥数 几何(蝴蝶模型)

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1、蝴蝶模型一、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DAS1S4S2OS3BC①SS::SS或者SSSS②AOOC::SSSS124313241243蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：aADS1S2S4OS3BCb①SS2422②SS::ab1322③SSS:::Sab::abab:13

2、242④S的对应份数为ab．基础篇：【一】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOAD【分析】根据蝴蝶定理求得S3121.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是△AOD1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【二】如图，四边形被两条对角线分成4个三角

3、形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AGGC:？AD123GBC【分析】⑴根据蝴蝶定理，S123，那么S6；BGCBGC⑵根据蝴蝶定理，AGGC:12:361:3．【三】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。67【分析】设另两块面积分别为图20x-17，y，如图：6x7y76xyxy526739设x=6k，y=7k，则x

4、+y=13k=39k=3x18∴y21四个三角形中最大的一个的面积是21【四】如图，S2，S4，求梯形的面积．23S1S2S4S3222【分析】设S为a份，S为b份，根据梯形蝴蝶定理，Sb4，所以b2；又因为1332S2ab，所以a1；那么Sa1，Sab2，所以梯形面积214SSSSS12429，或者根据梯形蝴蝶定理，123422Sab129．成都学而思五年级教研组提高篇：【五】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，A

5、E与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ADFBEC2【分析】连接DE,根据题意可知BEAD:1:2，根据蝴蝶定理得S（12）9(平方厘梯形米)，S3(平方厘米),那么S12(平方厘米)．△ECDABCD【六】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,EF,是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.ABODCEF【分析】因为EF,是DC边上的三等分点，所以EFAB:1:3,设S1份，根据梯形蝴△OEF蝶定理可以知道SS3份,S9份,S

6、S(13)份,因此正△AOE△OFB△AOB△ADE△BCF2方形的面积为44(13)24份，S6份，所以SS:6:241:4,所阴影阴影正方形以S3平方厘米.阴影【七】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．AEFBAEFB225O?5O?88DCDC【分析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以SS，又根据蝴蝶定理，EODFOCSSSS，所以SS

7、2816，所以S4(平方厘EODFOCEOFCODEODFOCEOD米)，S4812(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12224平方厘ECD米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．【八】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．BCGAMD【分析】因为M是AD边上的中点，所以AMBC:1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道22S:S:S:S1:12:12:2（）（）1:2:2:4，设S1份，则△AMG

8、△ABG△MCG△BCG△AGMS123份，所以正方形的面积为1224312份，S224△MCD阴影份，所以SS:1:3,所以S1平方厘米阴影正方形阴影【九】如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD的面积是．ADADOOBECBEC11【分析】解法一：连接DE，依题意SBOAO9AO54，所以AO12，AOB2211则SDOAO161296．AOD2