第20讲 解三角形

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1、数学第一轮复习讲义《解三角形》第二十讲解三角形【复习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2.能够用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【基础知识回顾】1.正弦定理和余弦定理：定理正弦定理余弦定理内容=2R变形形式①a=b=c=②sinA=sinB=sinC=③a:b:c=④=cosA=cosB=cosC=解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形的面积公式：S△ABC=（

2、其中ha表示边a上的高）=r(a+b+c)（其中r表示）=3.实际问题中的常用角：(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角。(2)方向角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东、南偏西等。4.三角形中常用结论：①A+B+C=②大边对大角，大角对大边③A〉B④若sin2A=sin2B，则三角形为⑤若，则三角形为⑥三角形中最小内角5.三角形内角平分线定理：三角形外角平分线定理：【基础知识自测】8数学第一轮复习讲义《解三角形》1.（2010上海文数）若△的三个内角满足，则△（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能

3、是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2.（2010湖南文数）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120°，c=a，则（）A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定3.（2010天津理数）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（）（A）（B）（C）（D）4.（2010山东文数）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,,则角A的大小为.5.（2010北京理数）（10）在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。6.（2010浙江理数）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2

4、，2sinA=sinC时，求b及c的长．【典型例题剖析】一、正弦定理、余弦定理的应用：例1.在△ABC中，（1）已知，求角A、C和边c的值；（2）若a、b、c成等差数列，则B的取值范围是8数学第一轮复习讲义《解三角形》跟踪训练：在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，则A=规律总结：二、三角形形状的判断：例2、在△ABC中，若，判断三角形的形状。跟踪训练：若三角形的三边a、b、c的比为a:b:c=3:4:5,则此三角形的形状为规律总结：三、三角形的面积：例3、在△ABC中，已知，三角形的外接圆半径为。(1)求角C(2)求S△ABC的最大值。跟踪训练：在△ABC中，a=4,b+c=5,t

5、anB+tanC+=tanBtanC，则S△ABC=规律总结：8数学第一轮复习讲义《解三角形》四、三角形的应用：例4、如图，在某海滨城市O附近的海面正形成台风，按气象部门监测，目前台风中心位于城市O的南偏东方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，目前圆形区域的半径为60km，并以10km/h的速度不断增大。则该城市受到台风侵袭的时间是多少小时？跟踪训练：将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片截成一块矩形，有下图的两种方案，让矩形的一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，问哪种方案能够得到更大面积的矩形？8

6、数学第一轮复习讲义《解三角形》《第二十讲解三角形》当堂检测1.（2010湖北理数）在中，a=15,b=10,A=60°，则=（）A－BC－D2.在中，已知下列条件解三角形：①A=60°,a=,b=1②A=30°,a=1,b=2③A=30°,c=10,a=6④A=30°,c=10,a=5其中只有一解的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④3.（2010广东理数）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.4.锐角△ABC中，角A=2B，则5.（2010辽宁理数）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，（Ⅰ）求A的大

7、小；（Ⅱ）求的最大值.8数学第一轮复习讲义《解三角形》《第二十讲解三角形》课后定时达标训练一、选择题：1.在△ABC中，若a=18,b=24,A=44°，则此三角形有（）解A.无解B.两解C.一解D.不确定2.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为（）A.B.C.D.23.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C