第27讲 解三角形

《第27讲 解三角形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、--WORD格式--可编辑--第27讲解三角形一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二．【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题三

2、．【要点精讲】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去

3、这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．----WORD格式--可编辑--解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还

4、可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb；（3）边与角关系：正弦定理（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2R

5、sinA，，。5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。四．【典例解析】题型1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次

6、月考）.已知△中，，，，，，则（）A.．B．C．D．或答案C例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，----WORD格式--可编辑--（2）根据正弦定理，因为＜＜，所以，或①当时，，②当时，，点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；（2）在ABC中，已知，，，解三角形解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理

7、，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；----WORD格式--可编辑--点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型2：三角形面积例3．在中，，，，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由计算它的对偶关系式的值。①,②　①　+　②　得　　。　①　－　②　得　　。----WORD格式--可编辑--从而　。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积