与“线段中点”有关的几何问题探究王杨

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1、与“线段中点”有关的几何问题探究学而思中考研究中心王杨在中考几何证明题与求解题中，我们经常遇到与线段中点有关的问题，线段的中点是几何图形中一个非常特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、三角形中位线、梯形中位线以及中心对称图形等丰富的知识，和不同的图形搭配会有不同的用法，其中还有不少问题需要通过构造“新图形”，才能建立已知与未知之间的联系，因此，恰当地利用中点、处理中点是解与中点有关问题的关键。那么，如何运用中点位置的特殊性解题呢？首先，在基本图形中看到中点应该想到什么？1.两条线段相等，为全等提供条件2.中线平分三角形的面积3.倍长中线学而思中考研究中心4.直角三角形斜

2、边中线是斜边一半5.中位线6.中心对称性当对基本模型非常熟悉之后，下面就其中的几个最为典型的题型做简单的归纳，重点介绍做辅助线的思路。一、有中点，倍长中线1.已知：如图，AD为△ABC中线，求证：AB+AC>2AD学而思中考研究中心【解析】本题属于基本题目，见到三角形一边上中线，首选的做辅助线的方法即为将中线倍长,并且题目中有强烈的信号，即求证中出现2AD，所以倍长AD。通过证明△ADC≌△BDE将目标线段转移到同一三角形中，进而利用基本定理将此题解答出来。2.已知：如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB。求证：CE=2CD。【解析】本题难度稍大，出现

3、了两条中线，因此在倍长的选取上需要做一个选择，通过再次分析已知条件，发现倍长中线CD，会直接得到求证中的2CD。故延长CD至点F，使DF=CD，则由△ADC≌△BDF可得AC=BF=BE，倒角得到∠CBF=∠CBE后再证一次△CBF≌△CBE即可得到CE=2CD．二、有中点，造中位线1.如图所示，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若1CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证：MF=(AC−AB)学而思中考研究中心2【解析】若所遇题目中涉及的中点并不能够形成三角形的中线时，还有另外一种常见的辅助线的做法就是构造三角形的中位线，此时与中点相连接的点的使用就显

4、得十分重要了，要将此点人为构造成中点，此题又应用了等腰三角形三线合一的知识点，两个知识点相叠加，题目难度比较大。AF既是∠BAC的平分线，又成为新构造的等腰△ACN的高，所以点F为CN的中点，进而MF为△ABN的中位线，最终利用三角形中位线的性质将此题解出。2.如图，点B为AC上一点，分别以AB、AC为边在AC同侧作等边∆ABD和等边∆BCE,点P、M、N分别为AC、AD、CE的中点。(1)求证：PM=PN.(2)求∠MPN的度数。【解析】本题中有P、M、N三个中点，在选择连接辅助线时自然就想到涉及中点较多的中位线这一知识点，故连接AE和DC并记交点为F，此时根据中位线性质，11P

5、M=CD,PN=AE，那么此时只需要证明CD=AE即可。证明两条线段相等，就22可以选用证全等三角形的方法，证明△ABE≌△DBC，此题即可得证。三、有中点，构造中心对称图形如图，在∆ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．学而思中考研究中心【解析】本题难度较大，在分析题目的时候并不能够找到三角形的中线，并且中点条件比较少，只有一个，也无法构造中位线。这样以上两种常见的辅助线就不能够帮助我们解决这道题目了。本题的方法是利用中点的特性，将题中部分图形绕中点旋转180°，构造中心对称图形求解。

6、但需注意的是：本题的辅助线做法是将GE延长一倍至H，并连接BH，已达到将△CEG绕点E旋转180°的效果。通过倒角求证BF=BH，再通过证△CEG≌△BEH得到BH=CG，最终将此题求解。总结：通过本专题的研究，帮助同学们解决在见到题目条件中出现中点时，应该想到的几种非常常见的做辅助线方法，进而通过比较固定的思路解答大部分的“中点”问题。学而思中考研究中心