M2第二章油气渗流数学模型

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1、第二章油气渗流数学模型科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋向，当代高科技的本质正是数学技术。利用数学科学既能够定量描述科学研究的对象，又可以对实际问题进行理论分析和科学预测，从而把科学研究推向更高的阶段。诚如马克思所说：“一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步”。在现今的油气田开发过程中，应用渗流力学理论建立数学模型，并由此进行定量分析和预测是解决实际问题的关键课题。2-1数学模型渗流系统是客观存在的，在数学建模中，称这种客观存在的渗流系统为原型（Prototype）。在油气田开发过程中，原型总是处于运动变化的过程之中，如何把握它们的规律性，是研究渗流系统的根

2、本问题。所谓模型（Model）是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。模型所反映的内容将因其使用的目的不同而不同。模型一般分为具体模型和抽象模型两大类，具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。2-1-1物理模型和数学模型直观的物理模型是抽象的数学模型之基础。渗流物理模型目标在于归纳渗流系统的主要特征并作相应简化，形成比较合理的物理描述。描述一个渗流系统，就要根据已有的静态资料描述它所包含的岩石和流体的物理性质，确定渗流系统的区域及其宏观性质，如系统几何特征如何、何种岩石、渗透性、储容性等是否均匀、

3、何种流体、发生何种渗流方式等，还要选择描述渗流问题的自变量（压力P），确定基本假设等。渗流物理模型实际上是对渗流系统静态的描述，即建立地质模型。渗流数学模型是为一定目的而对渗流系统做出的抽象、简化的数学符号系统，它反映部分现实世界的特征和数量关系。数学模型不是原型的复制品，而是为一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子、数学符号、程序、图表等刻画原型的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。数学模型源于现实且高于现实，它可以解释渗流系统状态的变化，可以预测渗流系统将来的行为，或者能为控制渗流系统的发展提供最优化策略。根据渗流力学理论用数学语言进一步表达

4、物理描述，便可以建立渗流数学模型。在渗流力学中，渗流数学模型一般包括：本构方程、连续性方程、运动方程、状态方程、能量方程、初、边值条件等。2-1-2数学建模步骤在规定的多孔介质范围内（拟要研究的流动区域），渗流数学模型的研究内容主要是在初始条件和边界条件激发下流体运动要素的变化和分布。（1）确定建模的目的和要求；（2）研究各物理量的条件和状况；（3）确定未知数和其他物理量之间的关系；（4）推导控制方程组；（5）量纲分析检验；（6）考证模型的适定性（解的存在性；解的唯一性；解的稳定性）。按照上述步骤，用数学方法完整地概括某一渗流系统应确定以下几个因素：（1）给定渗流发生的区域；4

5、0（2）选定描述渗流问题的自变量，通常渗流力学中选择压力，而水力工程为测压水头；（3）找出在整个渗流区域上自变量所满足的偏微分方程；（4）给出渗流区域边界上自变量所满足的边界条件；（5）对于不定常渗流问题给出初始条件。这样，所得到的每一个数学方程式都反应一种客观的渗流物理现象，整个数学问题不应当存在不确定性。就是说如果给定了正确的偏微分方程和合理的初边界条件，相应的数学问题一定是一个适定问题，它一定有解，并且该解具有唯一性和稳定性。2-2渗流控制方程组将运动方程带入连续性方程，可以得到渗流控制方程，各种渗流的偏微分方程所描述的是渗流系统内任意一点上发生的渗流现象，它代表了同类现

6、象的普遍规律。若同时给出定解条件，可构成渗流偏微分方程组。2-2-1渗流控制方程以一维渗流连续性方程为例，对于均匀介质和牛顿流体，将运动方程代入连续性可得到控制方程。连续性方程左端：连续性方程右端：结果有忽略压力导数平方项，得到值得注意的是，若渗透率、流体粘度是位置或压力的函数（例如压敏介质或非牛顿流体），则在Darcy公式带入连续性方程后，不能将它们随便提到括号外。类似推导可以得到其他坐标系中的渗流控制方程。如：直角坐标控制方程：柱坐标控制方程：对于非轴对称平面径向流问题，若定义：则控制方程可以化为：40对于轴对称平面径向渗流情形，若考虑常粘度液体、均匀微可压缩介质则有：若不

7、忽略导数平方项，根据（Colo—Hopf变换，1950-1951）令则有：，，球坐标系连续性方程：在三种经典的坐标系下，经过变换或简化后的渗流控制方程有如下通用表示形式：式中，Ñ2是Laplace算子。2-2-2定解条件对于某一渗流系统来说，只有给出该系统的定解条件，才能得到与所研究问题相符合的特解。定解条件分为初始条件和边界条件。初始条件：一般对于求解压力分布问题来说，压力函数应满足如下条件：这里，c0(x,y,z)为某一给定的函数。若c0为常数，表示初始压力均匀。压力边界条件：在某一部分