24.2.2直线与圆的位置关系(3)切线长定理

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1、直线与圆的位置关系(3)24.2.2切线长定理２.切线有那些性质１.过圆心２.过切点３.垂直于切线任意两个作为条件就能推第三个结论1.证明直线是圆的切线的方法有：1.利用定义(当直线和圆有唯一公共点时)2.用圆心到直线的距离等于圆的半径3.切线的判定：过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线一、温故知新O。PMNPQ1.任意画一个⊙O，在⊙O上任取两点A，B，以A，B为切点分别作⊙O的两条切线，画出的两条切线的位置关系怎样？ABO。。。AB。。O。2.圆的切线是线段、射线、还是直线？思考：什么是切线长

2、？如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与⊙O相切。经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。ABPO。切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。探究1：从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=O

3、B，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，

4、它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。7、如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点线段是直径。七个APO。BM探究2：连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABAPO。BECD例1已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C。（2）写出图中所有的全等三角形

5、；（1）写出图中所有的垂直关系；（4）如果PA=4cm，PD=2，求半径OA的长。OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB△OAP≌△OBP△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP（3）图中有哪些线段相等、弧相等，角相等？思考如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID内切圆和内心的定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.例2△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，

6、BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解法一:设AF=x(cm),则AE=x(cm)∴CD=CE=AC-AE=13-xBD=BF=AB-AF=9-x由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).例2△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解法二:设AF=x(cm),则AE=x(cm)BF=y(cm),则BD=y(cm)

7、CE=z(cm),则CD=z(cm)∴x+y=9x+z=13z+y=9解得x=4y=5z=9∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).记一记:5.如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P。（1）图中有几对相等的线段？ADLMNPOCB（2）由此你能发现什么结论？为什么？解：∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，L，M，N，P是切点，∴AL=AP，LB=MB，DN=DP，NC=MC∴AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC即AB+CD=AD+BC

8、圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。小结：APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。2.圆的外切四边形的两组对边的和相等PABO1、已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过点P有⊙O的两条切线，则切线长为___