大学数学竞赛辅导 极限和连续

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1、第一讲极限和连续一、极限的定义：数列定义、函数定义。（略）二、极限的计算方法：1）代入法（利用函数的连续性）；2）单调有界准则和夹逼准则；3）两个重要极限：；4）极限的四则运算法则；5）有界量与无穷小的积还是无穷小；6）等价无穷小的替换：时，；7）复合函数求极限法则：条件，则有；8）洛必达法则；9）利用泰勒公式求极限；10）利用定积分的定义计算极限；11）利用级数的一些结果计算极限；12）海涅归结原则：（利用它可以把一些数列问题化为函数极限问题）；定理1：1、函数极限的充要条件是：对任何数列，若，则有；2、函数极限的充要条件是：对任何数列，若，则有。13）施托尔茨（St

2、olz）定理（数列极限的洛必达法则）；定理2：设数列单调增加且，如果存在或为，则有。第8页（共8页）证明：设，则对任给的，存在正整数，当时恒有由于数列单调增加，所以有……………………由此可得又因为由于，所以存在，当时有，并且有，所以当时有由此即得。的情形类似证明。例1：证明极限的平均值定理1、设存在或为，则有；2、设，且存在或为，则有第8页（共8页）证明：利用施托尔茨定理证明1、2、因为，所以。例2：设，证明数列收敛于。证明：由极限与无穷小的关系，存在数列且有，使得，由例1可得，由可得数列有界，即存在有；由可得，再由例1得，由于所以有再利用极限与无穷的关系得。例3：设数

3、列有界，对任给的总有，证明存在。证明：由于及有界，由单调有界准则，数列收敛，再由及有界可得数列是收敛的。又因为分别是的子列，分别是的子列，所以第8页（共8页），即有存在。例4：设，数列，证明极限。证明：考虑函数，可得。当时，，即函数是单调递减的，所以当时有又因为时有，由即可得，由单调有界准则存在，无妨设，则有例5：设，求极限。解：由可得所以有。例6：设是正数，它们的和为1。定义数列第8页（共8页）证明：当时，三个数列的极限都存在，并求出极限。证明：因为，所以我们有（1）由此可得数列都是有界数列，设的最大值与最小值分别为，则数列也是有界数列，又因为所以有，由单调有界准则存

4、在。由于同理可得，因此有再根据可得。因为由夹逼准则可得，利用（1）可得第8页（共8页）例7：证明数列收敛，并求其极限。解：设此数列为，则有，容易看出，如果极限存在设，则有由于有一个实根在3和4之间，所以有。考虑函数，利用拉格朗日中值定理其中在之间，由此我们有由夹逼准则得。一、连续函数及其性质1）闭区间上连续函数的性质：最大值最小值定理；零点定理；介值定理。2）一致收敛与一致连续定义1：对于函数列和常数，如果对任给的，存在，当时，对于任意的恒有则称在上一致收敛于。定义2：对于函数，如果对任给的，存在，对于任意的，当时恒有第8页（共8页）则称在上一致连续。例8：设在上连续，

5、且，对于任给的恒有证明：。证明：由于或，如果则有，这与已知矛盾，所以。对于任意正有理数为正整数有若是负有理数，则如果是无理数，则存在有理数列使得例9：设在闭区间上连续，。证明：对于任给的正整数，总存在使得。证明：一、练习题1）设是正整数，计算。2）设，证明数列极限都存在且相等。第8页（共8页）3）求极限。4）某短跑选手再一次百米赛跑时的成绩刚好是10秒，有人说此选手在比赛过程中的某个一秒钟内刚好跑了10米，这个说法正确吗?说明自己的理由。5）设在闭区间上连续，并有数列，使得，证明存在一点使得。第8页（共8页）