根轨迹分析法修改版

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1、华南理工大学自动化科学与工程学院《自动控制原理》电子课件版本2.02011年6月主编修改版第五章根轨迹分析法版本2.02011年6月主编修改版制作:罗家祥审校:胥布工华南理工大学自动化科学与工程学院第五章根轨迹分析法5.1引言5.2根轨迹的基本概念5.3绘制根轨迹的一般方法5.4根轨迹法的扩展应用5.5开环零、极点对系统根轨迹的影响5.6利用MATLAB分析控制系统的根轨迹5.7小结5.1引言根轨迹方程绘制(10个规则)根轨迹扩展应用根轨迹开环零、极点对根轨迹的影响分析改变开环零极点，提高系统稳态或动态

2、性能本章知识体系MATLAB绘制根轨迹图5.1引言系统特征方程的根在复平面上的分布位置与系统的动态性能是密切相关的。闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的根是否位于复平面的左半平面内，而闭环控制系统的动态性能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。对于高阶系统，为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性，1948年伊万斯（W.R.Evans）创立了一种通过改变系统的一个参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法，并给出了绘制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法。根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法，

3、具有直观和简便的优点，并且是一种通用方法，可以绘制任意线性多项式关于任何参数的根轨迹，这样不需要用解析法求特征方程的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能的影响。5.2根轨迹的基本概念5.2.1根轨迹图根轨迹的研究是在一个复平面（简称s平面）上展开的，这时的复平面就叫根平面。当系统开环传递函数的某一参数从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹就称为根轨迹。根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响，因此，从0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递

4、函数放大系数K成正比的一个参数Kg，一般称为根轨迹增益。5.2根轨迹的基本概念5.2.1根轨迹图考虑开环传递函数的一般形式为式（5-2）意味着与之间的关系与零值的开环极点无关，同理也与零值的开环零点无关。由式（5-1）得与之间的关系为5.2根轨迹的基本概念例5-15.2根轨迹的基本概念Kg>0，系统闭环特征根始终在根平面的左半部，系统总是稳定的。04，两个共轭复根，系统

5、的阶跃响应变为衰减振荡过程，Kg越大，振荡越剧烈。Kg的取值不同，系统特征根在s平面的分布不同，系统具有不同的动态特性。5.2根轨迹的基本概念5.2.2根轨迹方程5.2根轨迹的基本概念2、相角条件规定相角以逆时针方向为正，顺时针方向为负。1、幅值条件5.2根轨迹的基本概念注意事项：幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，因为幅值还取决于Kg的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件，而s平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。相角条件是根轨迹应满足的充要条件，因为相角大小与Kg的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件，

6、而s平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。由于绘制根轨迹的目的是通过图上向量计算来进行系统的性能分析，因此s平面的横坐标和纵坐标必须采用相同的比例尺。通常，直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹很复杂，可以尝试先画出近似的根轨迹曲线，进行初步分析后，再细化和修正用计算机求解或者绘制出精确的根轨迹。5.3绘制根轨迹的一般方法5.3.1绘制根轨迹的基本法则规则1根轨迹的连续性闭环特征方程根是根轨迹增益Kg的连续函数；根轨迹是连续的直线或曲线。规则2根轨迹的分支数=特征根个数=系统阶数n。根轨迹法是通用的方法

7、，可以用于绘制线性多项式中任何参数的根轨迹。本节以根轨迹增益Kg为参数归纳出绘制根轨迹的基本法则。5.3绘制根轨迹的一般方法规则4根轨迹起点与终点根轨迹的起点(Kg=0时)：位于开环传递函数的极点处。根轨迹的终点(Kg=∞时：止于开环传递函数的零点(包括m个有限零点和n-m个无穷远处的零点)。规则3根轨迹的对称性实系数特征方程的根必为实数或共轭复数,必对称于实轴。5.3绘制根轨迹的一般方法规则5实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹在奇数个零点和极点的左侧。规则6根轨迹的渐近线Kg→∞时,有n-m条根轨迹分支沿着与正

8、实轴夾角,截距为-的一组渐近线趋于无穷远处。注意到式（5-14）中有k=0,1,2,…,5.3绘制根轨迹的一般方法（2）渐近线在实轴上交点故推得n-m个渐近线与实轴的夹角为（1）渐近线与实轴的夹角由比较（5-17）分母多项式系数可得5.3绘制根轨迹的一般方法例5-2已知三阶系统的开环传递函数为试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。解：系统无零点，而有三个开环极点：-p1=0，-p2=-3和-p3=-4，因此